Kule

 

Overflaten og volumet til en kule ble først beregnet av Arkimedes ved å omskrive kulen med en sylinder med samme radius og høyde lik diameteren til kulen. Han fant da at både overflaten S og volumet V  til kulen var 2/3 over de tilsvarende størrelsene for sylinderen. Det blir sagt at han ønsket dette elegante resultatet innskrevet på sin gravstein. Arkimedes' betraktninger la til en viss grad grunnlaget for moderne integralregning.

Sylinderen har en sideflate som er 2r⋅2π r = 4π r² samt to endeflater med totalt areal 2⋅π r² = 2π r². Overflaten til hele sylinderen er dermed 6π r² slik at 2/3 av dette gir kulens overflate

${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$ 

Samme resultat finnes ved bruk av integralregning. Bruker man kulekoordinater, følger det fra

${\displaystyle S=r^{2}\int _{0}^{\pi }\!d\theta \sin \theta \int _{0}^{2\pi }\!d\phi =r^{2}\cdot 2\cdot 2\pi =4\pi r^{2}}$ 

Volumet finnes herav ved å tenke seg det bygd opp av konsentriske kuleskall med variabel radius r og tykkelse dr,

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}\!dr\cdot 4\pi r^{2}={4 \over 3}\pi r^{3}.}$ 

Omvendt kan man si at arealet S er den deriverte av volumet V med hensyn på radius r. Da volumet til den omskrevne sylinderen er π r²⋅2r = 2π r³, er 2/3 av dette lik med kulevolumet V.

Man kan også beregne kulens volum ved bruk av kartesiske koordinater. Man betrakter den da som et omdreiningslegeme skapt ved å rotere halvsirkelen ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$  om x-aksen. Kulen kan så betraktes som sammensatt av et stort antall skiver med radius y og tykkelse dx. Volumet av hele kulen blir da gitt ved integralet

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=2\pi \int _{0}^{r}\!dx(r^{2}-x^{2})=2\pi (r^{2}x-{1 \over 3}x^{3}){\Big |}_{0}^{r}={4 \over 3}\pi r^{3}.}$ 

Resultatene for overflate og volum av kulen kan også finnes på mange andre måter. Man kunne for eksempel dele kulen opp i mange små kjegler med toppunkt i dens sentrum. Da grunnflaten i hver slik liten kjegle er en liten del dS av kulens overflate S, har hver av kjeglene det lille volumet r⋅dS/3. Ved å integrere over hele kuleflaten, gir det kulevolumet r⋅S/3 som gir samme svar igjen.

I tillegg til matematisk interesse, opptrer kuler i rom med høyere dimensjoner også innen teoretisk fysikk. Dette gjelder spesielt for statistisk mekanikk hvor dimensjonen til faserommet er proporsjonalt med antall partikler i systemet. Dette kan være vilkårlig stort.

En kule med radius R i et n-dimensjonalt, euklidsk rom er definert ved alle punkt som oppfyller betingelsen

${\displaystyle r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leq R^{2}}$ 

Dette er en direkte generalisering av definisjonen fra den vanlige, tredimensjonale tilfellet. Volumet V_n  av en slik n-dimensjonale kule er da formelt gitt ved integralet

${\displaystyle V_{n}=\int _{r\leq R}d^{n}x}$ 

Ut fra dimensjonelle grunner må resultatet kunne skrives som V_n = C_n Rⁿ  hvor konstanten C_n  bare avhenger av dimensjonen n.

Tar man den deriverte av uttrykket for volumet, finner man

${\displaystyle dV_{n}=nC_{n}R^{n-1}dR}$ 

Man kan betrakte dette uttrykket som overflaten S_{n - 1}  av kulen multiplisert med en liten, radiell utvidelse dR. Det fører til sammenhengen

${\displaystyle S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}}$ 

Både volumet V_n  og overflaten S_{n - 1}  kan bestemmes når den geometriske konstanten C_n  er funnet. I analogi med tre dimensjoner er det naturlig å kalle størrelsen Ω_{n - 1} = n C_n  for den fulle romvinkelen i n dimensjoner. Dette er samtidig overflaten til enhetskulen i dette multidimensjonale rommet.

Overflaten er ikke noen vanlig, todimensjonal flate, men en hypersfære med dimensjon n - 1. Ved bruk av matematisk terminologi kalles den et symmetrisk rom med positiv krumning og beskrevet ved generalisert, sfærisk geometri.

Konstanten C_n  kan beregnes på mange måter. En mulighet er å betrakte det multidimensjonale integralet

${\displaystyle I_{n}=\int _{r=0}^{\infty }d^{n}x\,e^{-r^{2}}=\prod _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{i}\,e^{-x_{i}^{2}}=\pi ^{n/2}}$ 

som er et produkt av vanlige Gauss-integral av størrelse √π . Alternativt kan det utføres ved å bruke det som tilsvarer kulekoordinater i det n-dimensjonale rommet. Da kan volumelementet dⁿx  skrives som overflaten av en n-dimensjonal kule med radius r multiplisert med differensialet dr. Dermed tar integralet formen

${\displaystyle I_{n}=nC_{n}\int _{0}^{\infty }dr\,r^{n-1}e^{-r^{2}}=C_{n}\Gamma (n/2+1)}$ 

etter å ha tatt i bruk gammafunksjonen og innført t = r² som ny integrasjonsvariabel. Ved sammenligning av disse to resultatene for integralet, finner man at den geometriske konstanten har størrelsen

${\displaystyle C_{n}={\pi ^{n/2} \over \Gamma (n/2+1)}}$ 

For spesifikke utregninger behøver man verdien Γ(1/2) = √π  samt egenskapene til gammafunksjonen og dens sammenheng med fakultetsfunksjonen. For eksempel er Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = (1/2)√π . Dette gir C₁ = 2, C₂ = π , C₃ = 4π /3 og C₄ = (1/2)π². Kulevolumene i de tilsvarende dimensjonene følger nå fra V_n = C_n Rⁿ.

Formelt fra formelen følger også C₀ = 1. Så hvis man overhodet kan snakke om en nulldimensjonal kule, så vil den ha volumet V₀ = 1. Dette kan man forstå som at den består bare av et punkt.

Noe spesielt er den endimensjonale kulen som består av alle punkt x i intervallet -R ≤ x ≤ R. Volumet av denne kulen er derfor V₁ = 2R. Dens overflate består kun av de to punktene x = - R og x = R. Størrelsen på overflaten er i dette tilfellet gitt ved antall punkter i den, det vil si S₀ = 2.

Dette følger også fra den generelle formelen

${\displaystyle S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}={2\pi ^{n/2} \over \Gamma (n/2)}R^{n-1}}$ 

for kuleoverflaten i n dimensjoner. Den gir de kjente resultatene S₁ = 2π R og S₂ = 4π R². Fra verdien for C₄ finner man likedan S₃ = 2π² R³ som er overflaten til en kule i et firedimensjonalt rom. Men samtidig er dette volumet av en tredimensjonal hypersfære som Einstein brukte i sin første kosmologiske beskrivelse av hele Universet. I denne modellen var det et endelig rom med konstant, positiv krumning.

Størrelsene av disse overflatene og volumene i forskjellige dimensjoner er forbundet med rekursjonsformler. Ved direkte sammenligning av uttrykkene for V_n  og S_n  ser man at nV_n = RS_{n - 1} samtidig som S_n = 2π RV_{n - 1}. Dermed kan alle andre verdier finnes ved å starte fra V₀ = 1 og S₀ = 2.

• A. Hodne, Matematikkens Historie, Volum 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
• M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 1, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506135-2.
• R. Tambs-Lyche, Lærebok i Matematisk Analyse, Volum II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1958).
• T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
• D.A. McQuarrie, Statistical Mechanics, Harper & Row, New York (1976). ISBN 0-06-044366-9.