Vektorprodukt

Vektorprodukt eller kryssprodukt er en binær operasjon som kombinerer to tredimensjonale vektorer til en ny vektor som står vinkelrett (ortogonalt) på de to opprinnelige og har en retning gitt ved høyrehåndsregelen. Størrelsen er gitt ved arealet til parallellogrammet som har de to vektorene som sidekanter. Vektorproduktet angis ved symbolet (×) i motsetning til prikkoperatoren (⋅) som benyttes for indreprodukt.

Kryssproduktet mellom to vektorer eksisterer bare i tre dimensjoner og har sin bakgrunn i oppdagelsen av kvaternioner som ble gjort av Hamilton på midten av 1800-tallet. Omtrent samtidig utviklet Grassmann et relatert, ytre produkt som kan benyttes for vektorer i alle dimensjoner. Dagens vektorprodukt er en sentral del av vektoranalysen som ble formulert av Gibbs og Heaviside på slutten av 1800-tallet.

Anvendelser av vektorproduktet er spesielt utbredt innen mekanikk og elektromagnetisk teori. For eksempel er både det mekaniske dreiemomentet og Coriolis-kraften gitt ved dette produktet. Likedan er Poyntings vektor gitt ved kryssproduktet av det elektriske og magnetiske feltet og gir energitransporten i en elektromagnetisk bølge. Formelen for Lorentz-kraften som virker på en elektrisk ladet partikkel som beveger seg i et magnetfelt, er også gitt ved et vektorprodukt.

Da fortegnet til vektorproduktet er gitt ved høyrehåndsregelen, er det antikommutativt i den forstand at det skifter fortegn ved ombytte av de to vektorene det kombinerer,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\,\mathbf {b} \times \mathbf {a} }$

En vektor v som blir vektorielt multiplisert med seg selv, gir derfor null. Det vil si at man alltid har v × v = 0.

Produktet er også distributivt ved at a × (b + c) = a × b + a × c.

Størrelsen av vektorproduktet a × b er definert som arealet av parallellogrammet som har vektorene a og b som sidekanter.^[1] Hvis vinkelen mellom dem er θ, er dette arealet

${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=ab\sin \theta }$

hvor a = |a| og b = |b| er lengdene til vektorene som derfor også gir størrelsen av sidekantene i parallellogrammet. Hvis de to vektorene er like eller parallelle, er deres kryssprodukt lik med null da vinkelen mellom dem er null.

Hvis n er en vektor med lengde |n| = 1 som står vinkelrett på vektorene a og b i den retning som gis ved høyrehåndsregelen, kan man derfor skrive deres vektorprodukt som

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \,\mathbf {n} }$

På denne formen fremgår dermed både dets størrelse og dets retning.

Ved å kvadrere produktet a × b, finner man

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}&=a^{2}b^{2}\sin ^{2}\theta =a^{2}b^{2}(1-\cos ^{2}\theta )\\&=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\end{aligned}}}$

Dette resultatet forbinder indreproduktet a ⋅ b av de to vektorene med deres vektorprodukt og lengder.^[2]

Vektorer i det tredimensjonale, euklidske rommet E³ kan fremstilles ved sine komponenter på tre basisvektorer. Vanligvis velges de å være ortonormerte og med bruk av kartesiske koordinater (x,y,z) betegnes de som e_x, e_y og e_z  eller alternativt som i, j og k. Denne notasjonen går tilbake til Hamiltons opprinnelige navn på de tre vektorielle kvaternionene.

Benytter man denne siste notasjonen, vil en generell vektor derfor kunne skrives som v = v_x i + v_y j + v_z k. Vilkårlige kryssprodukt kan dermed uttrykkes ved de fundamentale produktene mellom de enkelte basisvektorene. Fra definisjonen av vektorproduktet er disse gitt som

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} &=-\mathbf {j} \times \mathbf {i} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {j} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} &=-\mathbf {i} \times \mathbf {k} \end{aligned}}}$

Ved direkte utregning der man benytter den distributive loven, finner man da generelt at

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\mathbf {i} +(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\mathbf {j} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\mathbf {k} }$

Hver komponent av denne vektoren er arealet av parallellogrammet dannet av a og b projisert ned i de tre korresponderende koordinatplanene.

Som et eksempel kan man fra denne generelle formelen finne kryssproduktet av de to vektorene a = 2i - 3j + k og b = -4i + 5j - 2k. Det gir a × b = (6 - 5)i + (- 4 + 4)j + (10 - 12)k = i - 2k. Derimot er indreproduktet a ⋅ b = - 25. Sammenhengen mellom størrelsene til disse to produktene stemmer da a² = 14 og b² = 45.

Det generelle uttrykket for vektorproduktet mellom to vektorer kan skrives mer kompakt som en determinant. Fra dets form ser man at

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}}$

Hvis de to vektorene er parallelle, er deres komponenter relatert ved en konstant. Determinanten vil da som forventet automatisk gi null. Denne formen for vektorproduktet er ekvivalent med å uttrykke det ved Levi-Civita-symbolet som

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{k}\,.}$

når de kartesiske indeksene (x,y,z) erstattes ved de de numeriske verdiene (1,2,3) og e₁ = i, e₂ = j og e₃ = k. Ofte skriver man ikke summasjonen over indeksene eksplisitt ut, men benytter i stedet Einsteins summekonvensjon der man summerer over alle like par med indekser.^[2]

Da kryssproduktet av to vektorer er en ny vektor, kan det kombineres med en tredje vektor c. Det er et produkt av tre vektorer og kalles derfor for et trippelproduktet. Siden to vektorer kan kombineres på to forskjellige måter, finnes det to ulike trippelprodukt. Gjøres dette ved bruk av det skalare indreproduktet, er resultatet et skalart trippelprodukt som er (a × b)⋅ c. Alternativt kan man benytte vektorproduktet som resulterer i et vektorielt trippelprodukt av formen (a × b)× c.

De to vektorene a og b definerer et parallellogram. Det er fordi a og b er frie vektorer som man kan flytte fritt rundt i det euklidske rommet. Disponerer man i tillegg over en tredje vektor c, kan denne derfor tenkes plassert i det hjørnet av parallellogrammet hvor de to første vektorene møtes. Sammen vil de tre vektorene på den måten utspenne et parallellepiped med a, b og c som sidekanter.^[3]

Per definisjon er det skalare trippelproduktet gitt ved indreproduktet

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |\,c\sin \theta }$

hvor c = |c| og θ er vinkelen mellom retningen til c og planet som parallellogrammet a × b danner. Men i uttrykket for trippelproduktet er c sinθ høyden til parallellepipedet slik at produktets verdi er ganske enkelt volumet til dette geometriske objektet. Da volumet er uavhengig av hvilken sideflate som velges som grunnflate, har man at

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

Er to av vektorene i produktet like, er produktet automatisk lik null. Det er ekvivalent med at det blir null for tre vektorer i samme plan.

Ved å benytte formelen for vektorproduktet uttrykt ved komponentene til vektorene, er det skalare trippelproduktet gitt ved

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} &=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})c_{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})c_{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})c_{z}\\&={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

som er determinanten av komponentene til de tre vektorene. Dette følger også direkte fra definisjonen av vektorproduktet uttrykt ved det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet. Da blir

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$

når man benytter konvensjonen å summere over par med like indekser. Ved bruk av denne kan da indreproduktet mellom to vektorer skrives som a ⋅ b = a_m b_m = a_m b_n δ_mn hvor symbolet δ_mn er Kronecker-deltaet.^[3]

Vektorer kan også inngå i en Grassmann-algebra hvor de kombineres ved det antisymmetriske kileproduktet med symbolet ∧ og kalles ytre multiplikasjon. To vektorer a og b kan da kombineres til bivektoren a ∧ b som igjen definerer et parallellogram med sidekanter a og b. Det kan derfor identifiseres med det vanlige vektorproduktet i tre dimensjoner, men eksisterer i motsetning til dette i rom med vilkårlig høye dimensjoner.

En bivektor er et orientert flateelement på samme måte som en vektor er et orientert linjestykke. Likedan danner tre vektorer et orientert volumelement a ∧ b ∧ c som er en trivektor og kan identifiseres med et parallellepiped.. Da kileproduktet er assosiativt, er det ikke nødvendig å skille multiplikasjonene med parenteser. I tre dimensjoner er verdien av det triple kileproduktet det samme som det skalare trippelproduktet.^[4]

Trippelproduktet (a × b)× c gir en vektor som resultat og sies derfor å være vektorielt. Fra definisjonen av det vanlig kryssproduktet finner man at denne vektoren kan uttrykkes ved to indreprodukt og er

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$

Det er antisymmetrisk i vektorene a og b. Dette resultatet finnes ved å skrive kryssproduktet uttrykt ved Levi-Civita-symbolet kombinert med identiteten

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$

som det tilfredsstiller. Ett av Kronecker-deltaene i hver av de to termene gir et indreprodukt når identiteten blir brukt i det vektorielle trippelproduktet. Mange resultat i vektoranalyseen kan bevises på denne måten.

Alternativt kan man skrive dette trippelproduktet som

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

som skifter fortegn ved ombytte av b og c. Dette viser også at produktet ikke er assosiativt. Derimot oppfyller det likheten

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$

som er en utgave av den mer generelle Jacobi-identiteten som gjelder for produkt med samme symmetri som vektorproduktet.^[4]

Siden kryssprodukter av to vektorer gir en vektor, kan to vektorprodukt kombineres enten ved et indreprodukt eller ved et kryssprodukt. I første tilfelle har man at

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

som følger direkte fra identeten for produktet av to Levi-Civita-symbol. Ved å kombinere de to produktene vektorielt, finner man istedet

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} \cdot \det(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )-\mathbf {a} \cdot \det(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\\&=\mathbf {c} \cdot \det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )-\mathbf {d} \cdot \det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\end{aligned}}}$

ved å benytte formelen (u × v)× w =  v(u ⋅ w) -  u(v ⋅ w). Resultatet er antisymmetrisk både ved ombytte av a og b eller når c og d byttes om.

• E.W. Weisstein, Cross Product, MathWorld.
• matematikk.net, Vektorprodukt
• A quick geometrical derivation and interpretation of cross products