Lorentz-kraft

Lorentz-kraften er den kraften som virker på en elektrisk ladning som befinner seg i et elektromagnetisk felt. Mens den elektriske delen av kraften er uavhengig av ladningens bevegelse, er størrelsen til den magnetiske delen proporsjonal med ladningens hastighet og avhengig av retningen til bevegelsen. Kraften er oppkalt etter den nederlandske fysiker Hendrik Antoon Lorentz.

Betegnes det elektriske feltet med E og det magnetiske feltet med B, er Lorentz-kraften F som virker på ladningen q gitt ved det matematiske uttrykket

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

når ladningen har hastighet v. Da den elektriske kraften q E definerer det elektriske feltet, blir ofte Lorentz-kraften forbundet med kun den magnetiske delen. Dens størrelse involverer et vektorielt kryssprodukt som betyr at kraften er maksimal i størrelse når ladningen beveger seg vinkelrett på magnetfeltet. Den er av samme grunn null når ladningen beveger langs dette feltet. Kraftens retning finnes ved bruk av høyrehåndsregelen. Formelen for kraften er også gyldig når feltene varierer med tiden.

Lorentz-kraften er i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. Den kan der forklares som et resultat av hvordan Coulomb-kraften opptrer i et inertialsystem som beveger seg. Formelt beskrives denne situasjonen ved en Lorentz-transformasjon.

I alle system hvor elektriske ladninger befinner seg i et magnetfelt, spiller Lorentz-kraften en avgjørende rolle. Den benyttes i gammeldagse TV-apparat til å fokusere elektronstrålen i bilderøret og avbøyer de ladete partiklene som akselereres i syklotroner og andre partikkelakseleratorer. På samme måte blir elektroner fra Solen styrt inn mot nordlige breddegrader av det jordmagnetiske feltet slik at det dannes nordlys i de områdene.

Sammenhengen mellom elektriske strømmer og magnetfelt ble først systematisk undersøkt av Ørsted og Ampère på begynnelsen av 1800-tallet. Et magnetfelt B ble vist å utøve en kraft på en strømførende ledning. Hvis den fører strømmen I gjennom et lite stykke med lengde d s som befinner seg i feltet, kan kraften på dette strømelementet skrives som

${\displaystyle d\mathbf {F} =Id\mathbf {s} \times \mathbf {B} }$

Dette resultatet gir en kompakt sammenfatning av Ampères kraftlov som har en lang og omstendelig historie.^[1] Det lyktes å finne denne loven selv om man på den tiden ikke hadde noen detaljert kunnskap om hva en elektrisk strøm besto av.

Men etter mange år med arbeider, spesielt innen kjemisk elektrolyse, ble det på slutten av århundret klart at strømmen besto av ladete elektroner. Den magnetiske kraften på en elektrisk strøm kunne da forstås som feltets virkning på hver av disse partiklene. Resultatet ble presentert av Lorentz i 1892 og kan utledes direkte fra Ampères kraftlov. Hvis en liten ladning dq i løpet av den korte tiden dt går gjennom et ledningselement d s med hastigheten v, vil man ha at d s = v dt. Men da strømmen i dette tilfellet er I = dq/dt, vil uttrykket for kraften på strømelementet kunne omformes til d F = dq v × B. For en endelig stor ladning blir da formelen for den magnetiske kraften

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

Selv om samme resultat var funnet av Maxwell og Heaviside flere år tidligere,^[2] har dette uttrykket blitt oppkalt etter Lorentz som gjennom sine publikasjoner gjorde det kjent.^[3]

En mer generell utledning av Lorentz-kraften ble presentert av Schwarzschild i 1903.^[4] Han baserte sin beregning på den potensielle energien for et elektron som befinner seg i en kombinasjon av elektriske og magnetiske felt. Ved bruk av Lagrange-mekanikk kom han dermed frem til den generelle formen til kraftloven. Siden den elektromagnetiske vekselvirkningen han benyttet, viste seg å være invariant under Lorentz-transformasjoner, er derfor også Lorentz-kraften i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.^[5]

Når Lorentz-kraften virker på en partikkel med hastighet v, vil den utføre et arbeid som er proporsjonal med v⋅F. Da den magnetiske delen v × B av kraften står vinkelrett på hastigheten, vil denne kraften derfor ikke bevirke noe arbeid slik at partikkelens energi forblir konstant.

Mer formelt følger det fra Newtons andre lov. Så lenge partikkelen med masse m beveger seg ikke-relativistisk, sier den at md v/dt = F. Multipliseres denne ligningen med v, blir dermed

${\displaystyle m\mathbf {v} \cdot {d\mathbf {v} \over dt}={d \over dt}{\Big (}{1 \over 2}mv^{2}{\Big )}=q\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} }$

Hvis det elektriske feltet E = 0, er derfor den kinetiske energien K = mv²/2  til partikkelen konstant. Men det forutsetter at det magnetiske feltet B ikke varierer med tiden. Hvis ikke, vil det skape et elektriske felt som en konsekvens av Faradays induksjonslov ∇ × E = - ∂B/∂t.

Et konstant, elektrisk felt kan uttrykkes ved et elektrisk potensial som E = - ∇ Φ. Da man har den matematiske sammenhengen v⋅∇ Φ = d Φ/dt, betyr det at

${\displaystyle {d \over dt}{\Big (}{1 \over 2}mv^{2}+q\Phi {\Big )}=0}$

Den totale energien til partikkelen er derfor bevart i dette mer generelle tilfellet med elektriske og magnetiske felt som ikke forandrer seg med tiden.

I et konstant, magnetisk felt er bevegelsen til partikkelen gitt ved ligningen

${\displaystyle m{d\mathbf {v} \over dt}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

Da Lorentz-kraften virker normalt på retningen til B-feltet som kan tas å være langs z-aksen, vil komponenten av hastigheten v langs denne retningen forbli uforandret. Derimot vil de to transverse komponentene v_T = (v_x,v_y) forandre retning på en måte som følger fra

${\displaystyle {d\mathbf {v} _{T} \over dt}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{T}}$

hvor vektoren

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=-{q \over m}\mathbf {B} }$

er konstant. Denne sammenhengen viser at hastigheten v_T  roterer om magnetfeltet B med syklotronfrekvensen ω = |ω| = qB/m. Dette er prinsippet som benyttes i syklotronen og i andre partikkelakseleratorer.

Under denne rotasjonen forblir størrelsen av hastigheten den samme, bare dens retning forandres. Det kan sees mer direkte ved å innføre partikkelens posisjon r. Da kan dens hastighet skrives som v_T = d r/dt. Bevegelsesligningen lar seg dermed direkte integereres og gir

${\displaystyle \mathbf {v} _{T}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Hastigheten står derfor alltid normalt på posisjonsvektoren, noe som viser at partikkelen beveger seg i en sirkel med vinkelfrekvens lik med ω. Radius r til denne sirkelbevegelsen blir ofte omtalt som gyroradius. I et magnetfelt med en gitt størrelse bestemmer den energien til partikkelen da denne er proporsjonal med kvadratet av hastigheten.

Ved å skrive ut bevegelsesligningene for de to kartesiske hastighetskomponentene v_x  og v_y, fremkommer de to første ordens differensialligningene

${\displaystyle {dv_{x} \over dt}=\omega v_{y},\;\;\;{dv_{y} \over dt}=-\omega v_{x}}$

Etter å ha tatt den tidsderiverte av den første ligningen hvor så den siste blir satt inn, står man igjen med

${\displaystyle {d^{2}v_{x} \over dt^{2}}+\omega ^{2}v_{x}=0}$.

som er svingeligningen for en harmonisk oscillator. Da den er av andre orden, vil dens løsning inneholde to integrasjonskonstanter. De kan man for eksempel fastsette ved å anta at partikkelen krysser x-aksen ved tiden t = 0 med hastigheten v_T. Den betingelsen gir at v_x = v_T  sinωt  som igjen medfører at v_y = v_T  cosωt. Dermed er også kravet v_x² + v_y² = v_T²  oppfylt. Begge hastighetskomponentene varierer derfor harmonisk med tiden med en periode gitt ved syklotronfrekvensen som T = 2π /ω. Tilsammen beskriver de bevegelsen til partikkelen i en sirkulær bane normalt på magnetfeltet.

Lorentz-kraften kan gi seg utslag på mange forskjellige måter. Et eksempel er elektromagnetisk induksjon hvor en ledning beveger seg med hastigheten v i et magnetfelt B slik at det oppstår en elektromotorisk spenning i den. Kraften vil påvirke ladningene i lederen slik at de forflyttes. Dermed oppstår det et elektrisk felt E i den. Når dette blir sterkt nok, vil forflytningen av ladning opphøre. Da har man likevekt i ledningen definert av at totalkraften F = q(E + v × B) = 0. Det betyr at det induserte, elektriske feltet er gitt som E = - v × B. Står hastigheten og feltet vinkelrett på hverandre, er derfor den induserte spenningen ${\displaystyle {\mathcal {E}}=vBL}$ over en lengde L av ledningen. Dette er samme resultat som kommer frem ved bruk av Faradays induksjonslov basert på forandringen av den magnetiske fluksen som lederen omslutter.^[5]

Når ladningene i ledningen kan bevege seg fritt med hastighet v₁, vil de påvirkes av Lorentz-kraften F₁ = q v₁× B  som gir dem en indusert hastighet v₂ vinkelrett på v₁. Den igjen gir opphav til en ny Lorentz-kraft F₂ = q v₂× B  som har motsatt retning av den opprinnelige bevegelsen av lederen og prøver å motvirke denne. Dette er forklaringen på Lenz' lov i dette tilfellet.

Dette er også samme mekanismen som virker i Hall-effekten. Her ledes strøm gjennom et materiale vinkelrett på et magnetisk felt. Igjen vil det bygges opp i elektrisk felt i materialet med en retning som er avhengig av fortegnet til ladningsbærerne i materialet. Disse kan være elektroner med negativ ladning eller hull som oppfører seg som partikler med positiv ladning. I det ene tilfellet blir den induserte spenningen positiv og i det andre tilfellet negativ. På den måten har man påvist at ladningsbærne i kobber er elektroner, mens de i zink er hovedsakelig positive hull.^[6]

Lorentz uviklet sin Elektronteori basert på eksistensen av eter som definerer et bestemt inertialsystem hvor Maxwells ligninger er gyldige.^[7] Noen år senere viste Einstein at man ikke behøver noen eter og at ligningene er gyldige i alle inertialsystem Det betyr også at uttrykket for Lorentz-kraften er gyldig i slike system når den uttrykkes ved hastigheter og felt som måles i det samme systemet.

En konsekvens av hans spesielle relativitetsteori er at et magnetfelt B som finnes i et inertialsystem, vil også observeres i et annet inertialsystem som beveger seg med hastigheten v, men sammen med et nytt elektrisk felt E = v × B så lenge hastigheten v er mye mindre enn lyshastigheten c. Dette induserte feltet vil flytte ladningen i en leder som befinner seg i ro i det bevegelige inertialsystemet og dermed bygge opp en elektromotorisk spenning i denne.

På samme måte vil et elektrisk felt E i det første inertialsystemet gi opphav til et magnetisk felt B = - v × E/c²  i det andre inertialsystemet. Det var ikke uten grunn at Einstein kalte den opprinnelige artikkelen om den spesielle relativitetsteorien for Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Elektrodynamikk til bevegte legemer). Han viste her at det elektromagnetiske feltet vil være hovedsakelig elektrisk eller magnetisk avhengig av hvem som observerer det.

Hvis man betrakter et system bestående av en kontinuerling fordeling av partikler med ladningstetthet ρ = ρ(x,t), vil ladningen i et lite volumelement dV være dq = ρdV. Kraften som virker på partiklene i dette volumelementet er da d F = ρ(E + v × B)dV  hvor v = v(x,t) er hastighetsfeltet som sier hvordan partiklene beveger seg. Her vil nå J = ρ v  være strømtettheten i ladningsfordelingen.

Denne formen for den differensielle Lorentz-kraften gjør det naturlig å uttrykke den ved en volumkraft

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

som virker på hvert differensielt volumelement dV av ladningsfordelingen. Man kan her bruke Maxwells ligninger til å uttrykke ladningstettheten ρ og strømtettheten J ved de elektromagnetiske feltene slik at volumkraften tar formen

${\displaystyle \mathbf {f} +{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

hvor S = E × H  er Poyntings vektor som angir strømmen av energi fra ladningsfordelingen når feltene varierer med tiden. I tillegg er ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{ij})}$ Maxwells spenningstensor som gjør det mulig å beregne de elektromagnetiske kreftene som virker både inni og utenpå ladningsfordelingen.^[8]

Den totale Lorentz-kraften er gitt ved det tredimensjonale volumintegralet

${\displaystyle \mathbf {F} =\int \!dV(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}$

som går over hele rommet hvor ladningene befinner seg. Det spiller en viktig rolle innen plasmafysikken.

Grunnen til at Lorentz-kraften er konsistent med Einsteins relativitetsteori, er at den kan utledes fra en Lagrange-funksjon som er invariant under Lorentz-transformasjoner. For en relativistisk partikkel med hastighet v kan den skrives som

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q(\Phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$

hvor Φ er det elektriske potensialet og A det magnetiske vektorpotensialet. De inngår i den elektromagnetiske vekselvirkningen på en slik måte at den er invariant under gaugetransformasjoner.

I Euler-Lagrange-ligningen

${\displaystyle {\partial L \over \partial \mathbf {x} }-{d \over dt}{\partial L \over \partial \mathbf {v} }=0}$

hvor v = d x/dt, inngår den kanoniske impulsen

${\displaystyle \mathbf {p} ={\partial L \over \partial \mathbf {v} }={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} }$

sammen med

${\displaystyle {\partial L \over \partial \mathbf {x} }=-q{\boldsymbol {\nabla }}\Phi +q{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$

Ved å benytte at

${\displaystyle {d\mathbf {A} \over dt}={\partial \mathbf {A} \over \partial t}+(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

sammen med vektoridentiteten

${\displaystyle \mathbf {v} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$

kommer man dermed fram til bevegelsesligningen

${\displaystyle {d \over dt}{m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$

På venstre side inngår den tidsderiverte av den relativistiske impulsen til partikkelen som er m v ved lave hastigheter. Lorentz-kraften opptrer på høyre side av resultatet med det elektriske feltet E = -∇ Φ - ∂ A/∂ t og det magnetiske feltet B = ∇ × A.

• Elektrisk potensial
• Magnetisk felt
• Maxwells likninger
• Elektromagnetiske felt
• Elektrodynamikk

• R.P. Feynman, Lorentz transformations of the fields, Lectures on Physics, Volume II, Caltech, Pasadena (2013).
• NCERT, Moving charges and magnetism, del av indisk forelesningsserie om elektromagnetisme.