Ekvipotensialflate

En ekvipotensialflate er et område av rommet hvor et potensial har en konstant verdi. Vanligvis er potensialet en skalar funksjon. I et tredimensjonalt euklidsk rom er denne delen av rommet en todimensjonal flate. I et n-dimensjonalt rom har ekvipotensialflatene dimensjon n - 1.

Det er vanlig å innføre ekvipotensialflater i forbindelse med potensiell energi, elektrisk potensial og gravitasjonspotensial. Geoiden, som brukes innen geodesi, er en ekvipotensialflate. Den er flaten som er slik at den skalare gravitasjonen (gravitasjonens verdi når man ser bort fra dens retning) er den samme i alle punkt på flaten. Begrepet brukes også innen fluidmekanikk.

I to dimensjoner blir ekvipotensialflatene kurver. Kjente eksempel er koter på kart som angir punkt med samme høyde. På værkart angir isobarer punkt med samme lufttrykk, mens isotermer angir punkt med samme temperatur.

Gradienten til en ekvipotensialflate står vinkelrett på flaten. I tre dimensjoner med potensialet ${\displaystyle \Phi (x,y,z)}$ kan man se det ved å betrakte to infinitesemalt nærliggende punkt r  og r + d r. Da er forskjellen i potensialet i disse to punktene

${\displaystyle d\Phi =d\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

ved å uttrykke gradienten ved hjelp av nabla-operatoren. Hvis begge punktene nå ligger i en ekvipotensialflate ${\displaystyle \Phi =}$ konstant, må ${\displaystyle d\Phi =0}$. Da ligger vektoren d r  i flaten slik at gradienten ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$ må stå normalt på den for at skalarproduktet skal være null. Det betyr at de tilsvarende feltlinjene som er tilknyttet potensialet, også står vinkelrett på disse flatene. Beviset kan trivielt utvides til å gjelde i høyere dimensjoner.

• R. Tambs Lyche, Matematisk Analyse, Bind III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1959).