[go: up one dir, main page]

Kiem (wiskunde)

wiskunde

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse, beschrijft een kiem het lokale gedrag van een functie in willekeurig kleine omgevingen van een gegeven punt.

Achtergrond

bewerken

Beschouw willekeurig vaak differentieerbare reële functies die gedefinieerd zijn in een omgeving van 0. Als het slechts gaat om het lokale gedrag in de omgeving van 0, is het onderscheid tussen twee functies   en   niet van belang als hun verschil   gedefinieerd op de doorsnede van hun domeinen, gelijk is aan 0 op een (eventueel kleinere) omgeving van 0.

Zij   de verzameling van alle (willekeurig vaak) differentieerbare functies waarvan het domein een open omgeving van 0 omvat:

 

Twee functies   en   noemt men equivalent,  , als zij "gelijk zijn op een kleine omgeving van 0", d.w.z. dat er een getal   is, zodanig dat:

 

en voor alle   geldt dat  

De equivalentieklassen van deze relatie heten de differentieerbare functiekiemen. Net als gewone functies, kunnen ook functiekiemen bij elkaar opgeteld worden en met elkaar vermenigvuldigd. Ze vormen dus een commutatieve algebra over het lichaam der reële getallen.

Merk op dat een kiem, opgevat als equivalentieklasse van functies, weliswaar heel veel verschillende functies bevat, maar ten hoogste een van die functies is analytisch (een analytische functie op een samenhangend domein ligt volledig vast door haar gedrag in de omgeving van één punt).

Definitie

bewerken

Zij   een vast gekozen punt in een topologische ruimte   en   een verzameling functies waarvan het domein deel uitmaakt van   en met waarden in een gegeven verzameling   Met   wordt de deelverzameling van   aangeduid die bepaald wordt door de voorwaarde dat het domein van de functie een omgeving is van  

 

De functies   en   in   heten equivalent,  , als er een omgeving   van   is zodanig dat voor alle   geldt dat  

De equivalentieklassen heten de kiemen van   in  

Voorbeelden

bewerken

Zij   en   de verzameling van alle indicatorfuncties van deelverzamelingen van een verzameling   (deze is gelijkwaardig met de machtsverzameling van  ). De equivalentieklassen heten de kiemen van verzamelingen in   Twee deelverzamelingen van   behoren tot dezelfde kiem als ze identieke doorsneden hebben met voldoende kleine omgevingen van   In dit voorbeeld hebben alle functies de hele ruimte   als domein.

In het voorbeeld uit de motiverende paragraaf is   de verzameling der reële getallen,   en   bevat de onbeperkt differentieerbare (partiële) reële functies.

Bij continue functiekiemen (in een gegeven punt   van  ) is   een topologische ruimte, en   bevat alle continue partiële functies van (een deel van)   naar  

Toepassing

bewerken

De catastrofetheorie classificeert kiemen van differentieerbare functies

 

op diffeomorfismen (omkeerbare differentieerbare transformaties) van het domein na. Ze kent een bijzondere rol toe aan "stabiele" kiemen, dit zijn kiemen die robuust zijn onder kleine variaties van de beeldverzameling.