Getijde (waterbeweging)

  Zie Geschiedenis van de getijdentheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Al ruim voor onze jaartelling waren mensen in staat rekening te houden met het getij of er zelfs gebruik van te maken. Het tot nu toe oudst bekende voorbeeld is een getijdendok bij Lothal in India. Reeds tijdens de oudheid was bekend dat het getij samenhangt met de positie van de Maan. Plinius de Oudere kon in 77 AD al een vrij nauwkeurige beschrijving van de verschijnselen geven, waarbij hij zowel de Zon als de Maan als veroorzakers noemde.^[1] De theorie is daarna lange tijd niet uitgebreid of verbeterd. Pas in de vroegmoderne tijd gingen wetenschappers weer nadenken over de oorzaken van het verschijnsel. Galileo Galilei opperde in 1616 dat het getij veroorzaakt werd door het heen en weer klotsen van het water als gevolg van het draaien van de aarde om de zon én door haar rotatie om haar eigen as. In deze onjuist gebleken verklaring zag hij een bewijs voor zijn thans wel als juist beschouwde theorie dat de aarde om de zon beweegt.^[2] René Descartes stelde rond 1630 in zijn vortextheorie^[3] dat het getij veroorzaakt werd door de druk van de ether, een medium waarvan men dacht dat het heelal buiten de aardatmosfeer ermee gevuld was. De Aarde en de Maan zouden de vrije stroming van de ether belemmeren en daarmee een drukgolf veroorzaken die op zijn beurt de oorzaak was van het getij. Volgens William Gilbert was het de magnetische aantrekking tussen Aarde en Maan die het getij veroorzaakte. Deze theorie werd in 1651 postuum gepubliceerd.

De eerste die het getij verklaarde met behulp van de zwaartekracht, was Isaac Newton, in 1687.^[4] Newtons theorie werd later, in 1740, uitgebreid door Daniel Bernoulli.^[5] Hij was degene die er het evenwichtsgetij van maakte dat zo vaak aan Newton wordt toegeschreven.^[6] In 1776 stelde Laplace, met behulp van Newtons gravitatietheorie, als eerste een dynamische theorie van het getij op.^[7] Uit het werk van Laplace kwam onder andere naar voren dat de getijverwekkende kracht in verschillende componenten, elk met een eigen frequentie, ontleed kon worden. Met de ontwikkeling van de fourieranalyse door Joseph Fourier, in 1822, werd het mogelijk de afzonderlijke componenten te onderscheiden uit lange reeksen metingen aan het getij op een bepaalde plek. Daarmee kwam het voorspellen van het getijverloop voor plekken waar meetreeksen beschikbaar waren binnen bereik. Belangrijke bijdragen aan de theorie die de analyse en het voorspellen van het getij mogelijk maakt, werden geleverd door William Thomson (Lord Kelvin) in 1867,^[8] George Howard Darwin in 1899,^[9] en Arthur Thomas Doodson in 1921.^[10]

 

 

 

De zwaartekracht die een lichaam op een ander lichaam uitoefent is recht evenredig met de massa van het aantrekkende lichaam en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de onderlinge afstand. Op de Aarde is de aantrekkingskracht van een ander lichaam, zoals de Maan, daardoor groter aan de kant waar dat lichaam in het zenit staat, en kleiner waar het in het nadir staat. Voor het getij zijn alleen de Maan en de Zon van belang; de invloed van andere hemellichamen is volstrekt verwaarloosbaar.^[11]

De aantrekkingskracht van de Maan en die van de Zon werken op de gehele Aarde. Afhankelijk van de plek op aarde variëren wél de exacte grootte en richting van die krachten. De krachten zijn te ontbinden in een component die gelijk is aan die in het middelpunt van de Aarde en een getijverwekkende kracht. De eerste component is homogeen verdeeld over de Aarde en beïnvloedt daardoor de vorm van de Aarde, inclusief het water, niet. De richting en grootte van de getijverwekkende kracht varieert wel over de Aarde.

De getijverwekkende kracht is op zijn beurt ook weer te ontbinden in een horizontale en een verticale component. De verticale component werkt in dezelfde richting als de zwaartekracht van de Aarde en laat een partikel op de aardkorst stijgen of dalen. Deze kracht is maximaal op de plek waar de Maan of de Zon in het toppunt of zenit Z en het voetpunt of nadir N staat, en minimaal op 90° daarvan. De horizontale component van de getijverwekkende kracht brengt een partikel op de aardkorst horizontaal in beweging. Deze kracht is het sterkst in de twee zones die op iets meer dan 54° van zenit en nadir liggen.^[12]

Door de aardrotatie verandert de oriëntatie van het krachtenveld ten opzichte van de Aarde doorlopend. Het gevolg is dat elk punt op aarde zich periodiek in een maximum van het krachtenveld bevindt en dan weer in een minimum ervan. Als het hemellichaam (Maan of Zon) in het vlak van de evenaar staat,^[13] dan zijn beide maxima en minima van het krachtenveld behorende bij dat hemellichaam gelijk. Staat het hemellichaam niet in het equatorvlak, dan geldt voor elk punt op aarde dat niet op de evenaar ligt dat het ene maximum groter is dan het andere. Het gevolg hiervan is de dagelijkse ongelijkheid: op dagen dat de Zon of Maan een grote noordelijke of zuidelijke declinatie kent, zijn de beide hoogwaterstanden op een dag niet aan elkaar gelijk. In theorie zou dat voornamelijk op grotere breedtes merkbaar moeten zijn maar doordat de getijgolf zich ook in noord-zuidrichting over de Aarde voortplant, kan de dagelijkse ongelijkheid overal optreden.

De totale getijdenkracht wordt veroorzaakt door de Maan en de Zon. De getijdenkracht is omgekeerd evenredig met de derde macht van de afstand en recht evenredig met de massa van het aantrekkende lichaam. De getijdenkracht van de Maan^[14] is daardoor ruim tweemaal zo groot als die van de Zon,^[15] zoals uit de hieronder te geven berekening zal blijken.

De getijdenkracht is het gevolg van het verschil tussen de middelpuntzoekende kracht en de aantrekkingskracht op een willekeurig punt van een planeet. Twee objecten 1 en 2, met massa's m₁ en m₂ , en onderlinge afstand R (van centrum tot centrum), draaien beide om hun gemeenschappelijk zwaartepunt. Hierbij is de onderlinge aantrekkingskracht F_g gelijk aan de middelpuntzoekende kracht F_mpz die nodig is om beide objecten in een cirkelbaan om hun gemeenschappelijk zwaartepunt te houden. Dus:

${\displaystyle F_{\mathrm {mpz} }\ =\ F_{\mathrm {g} }\ =\ G{\frac {m_{1}m_{2}}{R^{2}}}}$ 

waarin G de gravitatieconstante van Newton is.

Voor het berekenen van de getijdenkracht die object 2 veroorzaakt op object 1, is niet de totale aantrekkingskracht F_g van belang, maar juist de verschillen in aantrekkingskracht door object 2 op verschillende plaatsen op object 1. Daardoor is ook niet de totale massa m₁ van object 1 van belang maar alleen de straal r. In wat oudere, vooral Engelstalige, literatuur wordt vaak voor elk punt op of in object 1 de kracht op unit mass (1 kg) berekend. Daarmee wordt de waarde van de kracht getalsmatig even groot als de versnelling a van die kracht op dat punt.^[16] In plaats daarvan kan natuurlijk ook gewoon de versnelling a voor elk punt op of in object 1 berekend worden.

Op punt g₁ , op het oppervlak van object 1 met straal r, dat het dichtst bij object 2 ligt, is de versnelling van de aantrekkingskracht door object 2 groter doordat daar de afstand tot object 2 kleiner is (R − r) dan de afstand tussen de centra van beide objecten (R). De middelpuntzoekende versnelling is echter overal op object 1 even groot. Dit leidt op punt g₁ tot een netto versnelling ten opzichte van het centrum van object 1: de versnelling a_T van de getijdenkracht F_T  :

${\displaystyle a_{\mathrm {T} }=a_{\mathrm {g_{1}} }-a_{\mathrm {g} }=G{\frac {m_{2}}{(R-r)^{2}}}\,-\,G{\frac {m_{2}}{R^{2}}}\ =\ Gm_{2}{\frac {R^{2}-(R-r)^{2}}{R^{2}(R-r)^{2}}}}$ 

${\displaystyle =Gm_{2}{\frac {r(2R-r)}{R^{4}-2R^{3}r+R^{2}{r}^{2}}}}$ 

Aangezien hier de straal r van object 1 heel veel kleiner is dan de afstand R tussen de twee objecten, kan men stellen dat

${\displaystyle R^{4}-2R^{3}r+R^{2}{r}^{2}\ \approx \ R^{4}}$ 

en

${\displaystyle 2R-r\approx 2R}$ 

Met deze vereenvoudiging is de netto versnelling op punt g₁ ten opzichte van het centrum van object 1 dan:

${\displaystyle a_{\mathrm {T} }={\frac {2Gm_{2}r}{R^{3}}}}$ 

In het punt op object 1 dat het verst van object 2 verwijderd is, is het precies andersom: hier is de versnelling van de aantrekkingskracht juist kleiner dan de middelpuntzoekende versnelling. Op dezelfde wijze berekend levert dit nogmaals de hierboven gegeven netto versnelling op, alleen in de tegenovergestelde richting. Over de totale doorsnee van object 1, gemeten in de richting van object 2, is het verschil in versnelling dan:

${\displaystyle a_{\mathrm {T} }={\frac {4Gm_{2}r}{R^{3}}}}$ 

Voor het effect van de Maan op de Aarde, met

G = 6,67259 · 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² (gravitatieconstante van Newton volgens de IAU)

m₂ = 7,34767 · 10²² kg (massa Maan)

r = 6,378136 · 10⁶ m (equatoriale straal Aarde)

R = 3,844 · 10⁸ m (gemiddelde afstand Aarde–Maan),

geeft dat als uitkomst dat de versnelling van de aantrekkingskracht door de Maan, gemeten in het nadir, 2,2022 · 10⁻⁶ m s⁻² kleiner is dan die gemeten in het zenit. Ter vergelijking: de versnelling van de zwaartekracht is 9,81 m s⁻².

Voor het effect van de Zon op de Aarde, met

m₂ = 1,989 · 10³⁰ kg (massa Zon)

R = 1,496 · 10¹¹ m (gemiddelde afstand Aarde–Zon),

is die waarde 1,011 · 10⁻⁶ m s⁻², 0,46 keer het effect van de Maan.

Door de getijdenkracht wordt de hele aarde vervormd. De vervorming is niet zo uitgesproken maar wel meetbaar (in de orde van enkele decimeters). Door de stijfheid van de aardkorst kunnen de aardgetijden veel beter de posities van de Zon en de Maan volgen en lopen er daardoor slechts ongeveer twee uur mee uit de pas.

Met name als gevolg van het gebruik van GPS en de daarvoor benodigde nauwkeurige beschrijving van de exacte vorm van de Aarde, is er sinds het laatste decennium van de twintigste eeuw veel geodetisch onderzoek gedaan, waarbij ook veel meer bekend is geworden over de getijden van de aardkorst.

Doordat de getijden wrijving veroorzaken, wordt de draaiing van de Aarde om haar as steeds verder vertraagd, en wordt de dag steeds langer. Bij de maan heeft dit er al toe geleid dat de rotatie om haar as zo veel vertraagd is dat die nu even snel is als de revolutie van dat hemellichaam om de aarde. De maan toont altijd dezelfde zijde aan de aarde, wat ook wel synchrone rotatie wordt genoemd. Met het afnemen van de rotatiesnelheid van de Aarde hangt direct samen dat de Maan langzaamaan verder van de Aarde af komt te staan.

Een lichaam met een massa zo groot als die van bijvoorbeeld de Aarde, neemt als gevolg van de zwaartekracht van zijn eigen massa een bolvorm aan. Een tweede massa die groot en nabij genoeg is, zoals de Maan of de Zon, trekt de Aarde door de getijdenkracht juist in één richting uit elkaar. Zolang de Aarde niet binnen de Rochelimiet van het getijverwekkende lichaam komt,^[17] neemt ze een vorm aan waarbij de twee genoemde effecten juist met elkaar in evenwicht zijn. Die vorm is een ellipsoïde waarvan de lange as gericht is naar het hemellichaam dat verantwoordelijk is voor de getijdenkracht op de Aarde. De evenwichtstheorie van het getij gaat uit van een geheel met water bedekte aarde, zonder continenten of andere obstakels, en neemt aan dat het water op aarde de vorm van de genoemde ellipsoïde aanneemt en dat de (bolvormige) Aarde daar, door de aardrotatie, onderdoor draait. Doordat het getij op aarde door twee hemellichamen wordt veroorzaakt, is de vorm die het water volgens deze theorie aanneemt niet één ellipsoïde maar de som van de twee ellipsoïden die het gevolg zijn van de gravitatie van de Maan en die van de Zon afzonderlijk.

De evenwichtstheorie gaat ervan uit dat er geen traagheid bestaat en dat er geen wrijving is tussen water en aarde, en dat daardoor de lange assen van de beide ellipsoïden steeds exact naar de getijverwekkende lichamen (Zon en Maan) gericht kunnen zijn.

Door verschillende factoren treden er periodieke variaties op in de vorm en de oriëntatie van de ellipsoïden. De belangrijkste factoren zijn de declinatie van zowel Maan als Zon, en de afstand tot die beide hemellichamen. Daarnaast zijn de werkelijke baansnelheid van de Maan en de werkelijke (schijnbare)^[18] baansnelheid van de Zon niet eenparig. De factoren die de periodieke variaties veroorzaken, worden in de evenwichtstheorie beschouwd als zogenaamde partiële getijden, die elk een eigen rotatiesnelheid hebben.

Het werkelijk optredende getij wijkt zeer sterk af van het evenwichtsgetij. Het evenwichtsgetij is desondanks bruikbaar als referentie waarmee het echte getij vergeleken kan worden. Het verschil tussen een component (partieel getij) van het evenwichtsgetij en diezelfde component van het hierna te behandelen astronomisch getij heeft op iedere plek op aarde een voor die plek constante waarde.

De watermassa is niet homogeen verdeeld over de aarde. De zeeën en oceanen zijn niet overal even diep en de kusten zijn grillig gevormd. Op de meeste breedtegraden is de baansnelheid van het aardoppervlak veel groter dan de maximale golfsnelheid, waardoor de getijgolf met de aarde meedraait en daardoor voorligt op de Zon en de Maan. Het Corioliseffect heeft daarnaast tot gevolg dat de getijgolf gaat draaien. Op veel plekken kan de getijgolf zich niet ongehinderd voortplanten doordat er landmassa's in de weg liggen. Het werkelijk optredende getij is daardoor niet simpel te berekenen uit het krachtenveld waardoor het veroorzaakt wordt. De hoeksnelheid van de partiële getijden is echter wel constant. Een partieel getij, zoals dat volgt uit het evenwichtsgetij, is voor te stellen als:

${\displaystyle Y(t)=fR\cos(\varphi +\omega t)}$ 

waarin

Y (t) = hoogte van component Y op tijdstip t

R = berekende amplitude van component Y

f = (kleine) correctiefactor voor de beweging van de maansknopen, vaak aangeduid als 'reductiefactor'

φ = fase (in graden) van component Y op t = 0

ω = hoeksnelheid (in graden per uur) van component Y

Het werkelijke partiële getij voor een willekeurige plek kan dan worden uitgedrukt als:

${\displaystyle Y(t)=fH\cos(\varphi +\omega t-\kappa )}$ 

waarin

H = werkelijke amplitude voor een gegeven plek

κ = kappagetal (in graden).

De amplitude H is van veel factoren afhankelijk maar voor een bepaalde plek constant en kan daar gemeten worden. Het kappagetal drukt uit hoeveel de harmonische component op de gegeven plek achterloopt op de fase die dezelfde component volgens het evenwichtsgetij heeft.

De hoek φ is de fase op t = 0 van het evenwichtsgetij. In verband met het publiceren van gegevens over het evenwichtsgetij zou het erg onhandig zijn als dat voor elke plek apart moest gebeuren. Daarom wordt doorgaans Greenwich gebruikt als referentielocatie voor het evenwichtsgetij, waarbij dan voor t = 0 geldt dat dat 0:00 UTC is. De hoek φ voor Greenwich wordt meestal aangeduid als het astronomisch argument v₀. Voor Greenwich zelf is de werkelijke fase van de component dan in theorie de fase van het evenwichtsgetij (v₀) verminderd met κ. Voor elke andere plek moet daar nog het verschil in lengte met Greenwich, vermenigvuldigd met de hoeksnelheid van de component, in verwerkt worden. Om praktische redenen wordt daarbij ook het kappagetal meegenomen in de term die nodig is om de fase in Greenwich te modificeren. Uiteindelijk wordt de hoek φ dan geschreven als v₀ − g, waarin g het geografisch argument is, ook vaak aangeduid als verbeterd kappagetal. Hierin is zowel het kappagetal als het verschil in lengte met Greenwich verwerkt. Doordat ook de route die de getijgolf volgt van invloed is op de lokale fase van een component, wordt g voor elke locatie door middel van metingen bepaald. De amplitude H en het geografisch argument g zijn de getijconstanten voor een bepaalde plek. Ze zijn voor elke plek voor lange tijd constant en hoeven daardoor per locatie maar één keer bepaald te worden.^[19] Een partieel getij valt nu uit te drukken als:

${\displaystyle Y(t)=fH\cos(v_{0}-g+\omega t)}$ 

Om voor een bepaalde plek voorspellingen over het getij te kunnen doen, wordt op (vaak langjarige) reeksen van waarnemingen aan de waterhoogte op die plek, de techniek van harmonische analyse toegepast. Hierbij wordt een fourieranalyse uitgevoerd op de grillige reeks data, om daaruit de harmonische componenten (ook wel partiële getijden genoemd) die samen het getij vormen te analyseren. Een harmonische component is niets anders dan een sinusvormige variatie met een bepaalde frequentie. Wanneer van alle harmonische componenten de frequentie, fase en amplitude bekend zijn, is het mogelijk ze in de tijd voort te zetten en bij elkaar op te tellen. Er zijn zo'n 400 componenten bekend, maar in de praktijk worden er minder gebruikt. Bij de Nederlandse kust, langs relatief ondiep water, zijn dit er 94; bij dieper water worden er minder gebruikt. Zolang de plaatselijke omstandigheden gelijk blijven — en de amplitude en fase van de harmonische componenten dus niet veranderen — kunnen hiermee zeer betrouwbare voorspellingen van het astronomisch getij worden gemaakt.

 

Doordat van zowel de Maan als de Zon de afstand tot de Aarde varieert, alsmede de declinatie, variëren ook de getijdenkrachten van deze twee lichamen periodiek, en daarmee ook de amplitudes van het dubbeldaags maansgetij M₂ en het dubbeldaags zonsgetij S₂. Zo'n periodieke variatie kan wiskundig op twee manieren worden uitgedrukt: (1) door het hoofdgetij van Maan of Zon (dat een constante amplitude heeft) te vermenigvuldigen met een factor die zelf een periodieke functie is waarvan de periode gelijk is aan die van de variatie, of (2) door bij het hoofdgetij twee harmonische componenten (cosinussen) op te tellen, waarvan de ene een hoeksnelheid heeft die een bepaald bedrag (de modulatie) kleiner is dan die van het hoofdgetij en de andere een hoeksnelheid die datzelfde bedrag groter is dan die van het hoofdgetij. De modulatie moet dan zo worden gekozen dat gedurende de periode van de variatie de beide toegevoegde harmonische componenten precies twee keer met elkaar in fase zijn en twee keer met elkaar in tegenfase. Dat laatste is het geval als de modulatie dezelfde waarde heeft als de hoeksnelheid van de variatie en dus, met andere woorden, dezelfde periode heeft als de variatie.^[20]

Met de vereenvoudiging dat de amplitude van hoofdcomponent cos αt gelijkgesteld wordt aan 1, ziet dat er mathematisch zo uit:

methode (1):

${\displaystyle H(t)=\cos \alpha t\cdot (1+A\cos \beta t)}$ 

methode (2):

${\displaystyle H(t)=\cos \alpha t+B\cos(\alpha t+\beta t)+B\cos(\alpha t-\beta t)}$ 

waarin H(t) de hoogte van het resulterende getij op tijdstip t is, α de hoeksnelheid van de hoofdcomponent, β de modulatie, en A en B willekeurige amplitudes.

Om nu aan te tonen dat met beide methoden exact hetzelfde effect bereikt wordt, moet bewezen worden dat vergelijking (1) mathematisch identiek is aan vergelijking (2). Het makkelijkst is om eerst uitdrukking (2) volledig uit te werken (met de rekenregels voor goniometrie) en daarna te vereenvoudigen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \alpha t+B\cos(\alpha t+\beta t)+B\cos(\alpha t-\beta t)\ =\\&\cos \alpha t+B\cos \alpha t\cos \beta t-B\sin \alpha t\sin \beta t+B\cos \alpha t\cos \beta t+B\sin \alpha t\sin \beta t={\text{(}}-B\sin \alpha t\sin \beta t{\text{ en}}+B\sin \alpha t\sin \beta t{\text{ vallen tegen elkaar weg)}}\\&\cos \alpha t+2B\cos \alpha t\cos \beta t=\\&\cos \alpha t\cdot (1+2B\cos \beta t)\\\end{aligned}}}$ 

Als A = 2B, met andere woorden, als B = 1/2A, staat er inderdaad exact hetzelfde.^[21]

De reden dat veel gebruik wordt gemaakt van de tweede methode, waarbij men drie termen met constante amplitude gebruikt, in tegenstelling tot de ene term met variërende amplitude in de eerste methode, is dat men bij de harmonische analyse van het getij, met behulp van een fourieranalyse, alleen componenten met een constante amplitude kan vinden en geen componenten met een periodiek variërende amplitude.

In feite zijn er maar twee getijden: het dubbeldaags maansgetij en het dubbeldaags zonsgetij. Deze hebben echter geen constante amplitude. Het M₂- en S₂-getij zijn de dubbeldaagse getijden met een, voor een bepaalde plek op aarde, constante amplitude die het gemiddelde is voor die plek. Alle andere partiële getijden zijn ofwel modulaties op de hoofdgetijden, ofwel golven met een hogere frequentie die in ondiep water ontstaan.

 

In een siderische maand van 27 dagen, 7 uur, 43 minuten en 11,6 seconden (27,3217 dag) volbrengt de middelbare maan een volledige omloop om de Aarde, met een hoeksnelheid van 0,5490°/uur.^[22] De Aarde draait rond haar as in een siderische dag van 23 uur, 56 minuten en 4,09 seconden, wat betekent dat ze een hoeksnelheid van 15,0411°/uur heeft. De middelbare maan beweegt zich ten opzichte van een punt op de aarde dus met een hoeksnelheid van 14,4921°/uur, het verschil tussen de twee vermelde hoeksnelheden. De hoeksnelheid van het dubbeldaags maansgetij M₂ is tweemaal zo groot: 28,9841°/uur, wat overeenkomt met een periode van 12 uur en 25,2 minuten. Hoog- en laagwater van dit getij vallen daardoor elke dag gemiddeld 50,4 minuten later dan de dag ervoor.

In een siderisch jaar van 365 dagen, 6 uur, 9 minuten en 9,76 seconden, volbrengt de Aarde een volledige omloop om de Zon, met een hoeksnelheid van 0,0411°/uur. De hoeksnelheid van de siderische rotatie van de aarde is 15,0411°/uur. Een punt op aarde heeft dus ten opzichte van de middelbare zon een hoeksnelheid van precies 15°/uur. De hoeksnelheid van het dubbeldaags zonsgetij S₂ is het dubbele: 30°/uur, wat overeenkomt met een periode van 12 uur. Hoog- en laagwater van dit getij vallen daardoor elke dag op hetzelfde moment.

Doordat de getijdenkracht van de Maan gemiddeld 2,2 keer zo groot is als die van de Zon, is de amplitude van het S₂-getij theoretisch gemiddeld 0,45 keer die van de Maan. In de praktijk kan die verhouding heel anders zijn.

De amplitude van het dubbeldaags maansgetij M₂ varieert met de afstand van de Maan tot de Aarde. De periode van die variatie is één anomalistische maand, met een hoeksnelheid van 0,5444°/uur. Volgens de tweede wet van Kepler is de snelheid van een hemellichaam in een elliptische baan variabel. De variatie in de snelheid van de Maan heeft eveneens de periode van één anomalistische maand. Deze beide variaties worden samen verwerkt door bij M₂ een component L₂, met een hoeksnelheid van 28,9841 + 0,5444 = 29,5285°/uur, en een component N₂, met een hoeksnelheid van 28,9841 − 0,5444 = 28,4398°/uur, op te tellen. L₂ en N₂ worden samen het dubbeldaags elliptisch maansgetij genoemd. Daarbij wordt L₂ het klein dubbeldaags elliptisch maansgetij genoemd omdat het een kortere periode heeft dan M₂, en N₂ het groot dubbeldaags elliptisch maansgetij omdat de periode ervan langer is. Op dezelfde manier worden bij het zonsgetij S₂ de componenten R₂ en T₂, die allebei 0,0411°/uur met S₂ verschillen en samen het dubbeldaags elliptisch zonsgetij worden genoemd, opgeteld om de variatie in amplitude per anomalistisch jaar te verwerken. De letters 'M' en 'S' staan uiteraard voor 'Moon' en 'Sun'; de letters 'L', 'N', 'R' en 'T' staan nergens voor: het zijn gewoon de letters die om 'M' en 'S' heen staan.

De declinatie van de Maan en de Zon is de hoek die deze hemellichamen maken met het vlak van de evenaar. De Zon staat twee keer per tropisch jaar boven de evenaar: tijdens de dag- en nachteveningen van 21 maart en 21 september. De declinatie is dan nul. Tijdens de zonnewendes van 21 juni en 21 december is de declinatie 23,5°. De declinatie van de Maan is twee keer per tropische maand nul: wanneer de Maan de evenaar passeert. Het baanvlak van de maan maakt een hoek van 5° met het vlak van de ecliptica. De maximale declinatie van de Maan varieert met de positie van de maansknopen. Als de klimmende knoop samenvalt met het lentepunt (de klimmende knoop van de Zon), dan is de maximale declinatie 28,5°. Als de klimmende knoop 9,3 jaar later samenvalt met het herfstpunt (de dalende knoop van de Zon), is de maximale declinatie van de Maan 18,5°. De Maan bereikt per tropische maand eenmaal haar grootste noordelijke declinatie en eenmaal haar grootste zuidelijke declinatie.

Met de declinatie van de Maan varieert ook de amplitude van het dubbeldaags maansgetij. Hoe verder de Maan boven of onder de evenaar staat, hoe kleiner de amplitude (bedenk dat er helemaal geen maansgetij zou zijn als de Maan boven een van de polen zou staan). Deze variatie in de amplitude van het getij wordt op dezelfde manier verwerkt als hierboven al is geschetst, onder 'partiële getijden' en 'elliptische getijden'. De periode van deze variatie is een halve tropische maand, en de hoeksnelheid 1,0980°/uur. Naast M₂ vinden we daardoor een component met een hoeksnelheid van 28,9841 + 1,0980 = 30,0821°/uur (K₂) en één met een hoeksnelheid van 28,9841 − 1,0980 = 27,8861°/uur (O₂). Het zonsgetij varieert op dezelfde manier, met een periode van een half tropisch jaar, met een hoeksnelheid van 0,0821°/uur. Naast S₂ vinden we daardoor een component met een hoeksnelheid van 30,0821°/uur (K₂) en één met een hoeksnelheid van 29,9179°/uur. K₂ van het maansgetij en die van het zonsgetij hebben beide dezelfde hoeksnelheid. Twee harmonische krommen met dezelfde hoeksnelheid maar niet noodzakelijk dezelfde fase, leveren, bij elkaar opgeteld, weer een harmonische kromme op, met dezelfde hoeksnelheid.^[23] De beide componenten K₂ kunnen met een fourieranalyse niet afzonderlijk onderscheiden worden, en worden daarom samen het dubbeldaags zons- en maansdeclinatiegetij K₂ genoemd.

De hoeksnelheid van O₂ is gelijk aan die van enkele andere, samengestelde, componenten. O₂ vinden we in tabellen met partiële getijden daardoor zelden terug. Wél wordt meestal de samengestelde component NLK₂ vermeld, met dezelfde hoeksnelheid. Voor de tweede component van het dubbeldaags zonsdeclinatiegetij ligt de naam U₂ voor de hand. Die vinden we echter nergens. Wél wordt vaak een samengestelde component met dezelfde hoeksnelheid vermeld: 2SK₂. Doordat componenten met dezelfde hoeksnelheid bij een fourieranalyse niet van elkaar onderscheiden kunnen worden, maakt het niet veel uit welk van de namen er wordt gekozen.

De declinatie van de Maan is ook de oorzaak van de dagelijkse ongelijkheid, waarbij periodiek het ene hoogwater op een dag verhoogd is en het andere verlaagd. De dagelijkse ongelijkheid is nul als de Maan boven de evenaar staat, en maximaal als de Maan de maximale noordelijke of zuidelijke declinatie bereikt. De dagelijkse ongelijkheid heeft één cyclus per maansdag (het ene hoogwater verhoogd, het andere verlaagd). Om deze variatie met harmonische componenten uit te drukken, worden daarom aan het enkeldaags maansgetij M₁ (hoeksnelheid 14,4921°/uur, de helft van M₂) twee enkeldaagse partiële getijden toegevoegd die met elkaar in tegenfase zijn als de declinatie nul is, en in fase als de declinatie maximaal is. De periode van deze variatie is een tropische maand, en de hoeksnelheid 0,5490°/uur. We vinden dan een component met een hoeksnelheid van 14,4921 + 0,5490 = 15,0411°/uur (K₁) en één met een hoeksnelheid van 14,4921 − 0,5490 = 13,9430°/uur (O₁). Ook het zonsgetij kent een dagelijkse ongelijkheid als gevolg van de declinatie van de Zon. De variatie heeft hier een periode van een tropisch jaar, met een hoeksnelheid van 0,0411°/uur, en we vinden een component met een hoeksnelheid van 15,0 + 0,0411 = 15,0411°/uur (K₁) en één met een hoeksnelheid van 15,0 − 0,0411 = 14,9589°/uur (P₁). K₁ van het maansgetij en die van het zonsgetij hebben beide dezelfde hoeksnelheid en kunnen daardoor bij een fourieranalyse niet van elkaar worden onderscheiden. Ze worden om die reden samen het enkeldaags zons- en maansdeclinatiegetij K₁ genoemd.

De positie van de werkelijke Maan wijkt in meerdere of mindere mate af van die van de middelbare Maan. De afwijking als gevolg van de elliptische baan is hierboven al genoemd. De twee belangrijkste andere storingen zijn de evectie en de hierna nog te behandelen variatie, beide veroorzaakt door de gravitatie van de Zon. De evectie is afhankelijk van de excentriciteit van de baan van de Maan. Wanneer de Zon in lijn staat met de apsidenlijn van de maanbaan (de lijn die door het perigeum en apogeum gaat), is de baan meer langgerekt en de excentriciteit het grootst. Wanneer de Zon haaks op die lijn staat, is de baan meer gedrongen en de excentriciteit kleiner.^[24] Wanneer de excentriciteit van de baan groot is, ligt het perigeum dichter bij de Aarde en is het apogeum verder weg, zodat de variatie in de afstand van de Maan dan groter is. Deze variatie heeft uiteraard effect op de amplitude van het getij. De baansnelheid van de Maan is, volgens de tweede wet van Kepler, afhankelijk van de afstand tussen Aarde en Maan, hetgeen verklaart waarom de excentriciteit van de baan een effect heeft op de evectie. Ook het voor- of achterlopen van de Maan op de positie van de middelbare Maan heeft een effect op het M₂-getij, dat immers de regelmatig bewegende middelbare Maan volgt. De evectionele periode, met andere woorden een volledige rotatie van de apsidenlijn ten opzichte van de Zon, duurt 411,78 dagen.^[25] In die periode is de excentriciteit twee keer maximaal en twee keer minimaal doordat de Zon tijdens een volledige omloop van de apsidenlijn twee keer in het verlengde daarvan staat, dus eens in de 205,89 dagen.

Ten opzichte van de Zon draait de Maan om de Aarde met een periode van een synodische maand, met een hoeksnelheid van 0,5079°/uur. De rotatie van de apsidenlijn ten opzichte van de Zon heeft een hoeksnelheid van 0,0364°/uur. Het verschil is 0,4715°/uur. De evectie van de Maan varieert dus met een periode van 360°/24 × 0,4715 = 31,8119 dagen. De modulaties op het M₂ getij zijn λ₂ (labda), met een hoeksnelheid van 28,9841 + 0,4715 = 29,4556 en ν₂ (nu), met een hoeksnelheid van 28,9841 − 0,4715 = 28,5126°/uur. Daarnaast zijn er nog de enkeldaagse modulaties ρ₁ (rho), met een periode van 14,4921 − 1,0205 = 13,4715°/uur, en θ₁ (theta), met een periode van 14,4921 + 1,0205 = 15,5126°/uur.

Nog een afwijking in de beweging van de Maan is de variatie, beschreven door Tycho Brahe na de maansverduistering van december 1590. Daarbij beweegt de Maan sneller dan gemiddeld wanneer ze naar nieuwe- en volle maan gaat, en langzamer wanneer ze naar de kwartierstanden gaat. Ook dit is het gevolg van de gravitatie van de Zon. De periode van deze variatie is een halve synodische maand, met een hoeksnelheid van 1,0159°/uur. De partiële getijden zijn μ₂ (mu), met een hoeksnelheid van 28,9841 − 1,0159 = 27,9682°/uur, en een tweede component waarvan de hoeksnelheid exact gelijk is aan die van het S₂-getij, en die daarom geen naam heeft.

 

 

Wanneer de getijgolf terechtkomt in ondiep water, zoals de Noordzee, kan ze zich bij hoogwater sneller voortplanten dan bij laag (zie: voortplantingssnelheid van oppervlaktegolven). Dit is te vergelijken met de zeedeining die een strand nadert. De golf verandert van vorm: één kant wordt steiler, de andere minder steil. De partiële getijden die hierdoor met een fourieranalyse worden gevonden zijn niet te verklaren uit de beweging of afstand van Maan of Zon. Wél hebben ze hoeksnelheden die een geheel veelvoud zijn van een van die astronomische componenten. Naast M₂ vinden we bijvoorbeeld M₄, M₆, M₈ en eventueel nog hogere harmonische boventonen; naast S₂ vinden we S₄, S₆, enzovoorts. Daarnaast vinden we samengestelde componenten, met een periode die samengesteld gedacht kan worden uit de periodes van enkeldaagse en (hoofdzakelijk) dubbeldaagse componenten. De meeste hebben daarom een naam gekregen die een combinatie is van de namen van die samenstellende getijden, waarbij het subscript (soms ook wel als normaal cijfer weergegeven) altijd het aantal periodes per dag aangeeft. Zo is 2MN₆ = 2 × M₂ + N₂. 4MN₆ is niet = 4 × M₂ + N₂, doordat dat 10 periodes per dag oplevert, wat niet klopt met het subscript 6, maar het is 4 × M₂ − N₂, wat inderdaad 6 periodes per dag oplevert. Een ander voorbeeld: 3M2S₂ = 3 × M₂ − 2 × S₂.

De amplitude en de timing van het getij worden bepaald door de relatieve bewegingen van Zon en Maan ten opzichte van de Aarde. Deze bewegingen zijn met slechts een handvol parameters te beschrijven. De Britse oceanograaf Arthur Thomas Doodson (1890-1968) maakte hiervan gebruik door de partiële getijden te coderen aan de hand van zes parameters.^[10]

De door Doodson gekozen^[26] parameters zijn:

• T = middelbare maanstijd; functie van de aardrotatie ten opzichte van de Maan, hoeksnelheid 14,4920521°/uur
• s = middelbare lengte van de Maan; functie van de siderische omloop van de Maan om de Aarde, hoeksnelheid 0,5490165°/uur
• h = middelbare lengte van de Zon; functie van de siderische omloop van de Aarde om de Zon, hoeksnelheid 0,0410686°/uur
• p = lengte van het perigeum; functie van de siderische rotatie van de apsidenlijn van de Maan, hoeksnelheid 0,0046418°/uur
• N = lengte van de klimmende maansknoop; functie van de siderische omloop van de maansknoop over de ecliptica, hoeksnelheid −0,0022064°/uur
• p_s = lengte van het perihelium; functie van de siderische rotatie van de apsidenlijn van de baan van de Aarde, hoeksnelheid 0,00000196°/uur

Alle andere fenomenen kunnen uit deze parameters worden afgeleid. Zo is T + s − h = 15°/uur, de rotatiesnelheid van de Aarde ten opzichte van de Zon, en 360°/24(s − h) = 29,53 dagen, de lengte van de synodische maand.

Ook van elk partieel getijde is uit te drukken hoe dat is samengesteld uit de zes primaire parameters. Doodson gebruikte dit om een eenvoudige en overzichtelijke code aan elk partieel getijde toe te kennen. Zo is de hoeksnelheid van M₂ uit te drukken als 2 × T en 0 × alle andere parameters: 2,0,0,0,0,0. Component ν₂ is uit te drukken als 2 × T, −1 × s, 2 × h, −1 × p en 0 × de parameters N en p_s: 2,−1,2,−1,0,0. Deze codering staat bekend als de Doodson-coëfficiënten.^[27]

In de onderstaande tabel zijn de in de tekst genoemde partiële getijden te vinden. Van elke component zijn de hoeksnelheid, de periode en de Doodson-coëfficiënten opgenomen. Niet vermeld is de amplitude omdat die van plek tot plek sterk verschilt. Het belang van de genoemde componenten voor het getij kan dus niet uit de tabel worden opgemaakt.

 

 

 

De belangrijkste componenten van de getijdenkrachten zijn de enkeldaagse en de dubbeldaagse componenten. Welke de sterkste waterbeweging veroorzaakt in een zee, hangt af van de sterktes van deze componenten en van de resonantiefrequenties van die zee. De sterktes van de componenten worden bepaald door de geografische breedte. De resonantiefrequenties van de zee worden bepaald door de vorm van die zee. Er wordt onderscheid gemaakt tussen drie types.^[28]

Bij een dubbeldaags getij is er in iets meer dan een etmaal tweemaal hoogwater en tweemaal laagwater, waarbij de beide hoogwaters min of meer even hoog, en de beide laagwaters ongeveer even laag komen. Springtij treedt op met tussenpozen van 14 3/4 dag, namelijk ongeveer twee dagen na volle of nieuwe maan. De tijdstippen van hoog- en laagwater vallen iedere dag ongeveer een uur later dan die op de vorige dag. Wanneer het getij een halve cyclus van de Maan heeft doorlopen, vallen de hoog- en laagwaters weer ongeveer op hetzelfde tijdstip als aan het eind van de vorige halve cyclus. De hoogwaters op de dag van springtij vallen dus altijd op voor die locatie ongeveer vaste tijdstippen. Doodtij valt zeven dagen na springtij. Het dubbeldaags getij treedt op in de Indische Oceaan, de Atlantische Oceaan met uitzondering van de Golf van Mexico, Nieuw-Zeeland, de Oostkust van Australië, grote delen van de Westkust van Midden- en Zuid-Amerika en enkele andere verspreid liggende gebieden.

Bij enkeldaags getij is er eenmaal per dag hoogwater en eenmaal per dag laagwater. Enkeldaags getij komt voor in de Golf van Mexico, de Zee van Ochotsk, de Zuid-Chinese Zee, het noordwestelijk deel van de Golf van Thailand, en in de Javazee.

Bij een gemengd getij is er op bijna alle dagen een groot verschil tussen de hoogtes van de beide hoogwaters en die van de beide laagwaters. Op sommige dagen heeft het getij het karakter van een enkeldaags getij, maar over het algemeen zijn er twee hoogwaters per etmaal. Dit getijdentype komt voornamelijk voor in de Grote Oceaan.

In een synodische maand van 29 dagen, 12 uur en 44 minuten staan de Zon, de Aarde en de Maan tweemaal op één lijn – bij volle en nieuwe maan. Hierbij versterken de getijdenkrachten van de Maan en Zon elkaar en treden er hogere hoogwaterstanden en lagere laagwaterstanden op. Dit is springtij. Bij het eerste en laatste kwartier verzwakken de getijdenkrachten elkaar en treden er minder hoge hoogwaterstanden en minder lage laagwaterstanden op. Dit is het doodtij.

 

 

De Noordzee heeft een uitgesproken dubbeldaags getij. De getijdenbeweging in de Noordzee wordt veroorzaakt door twee getijgolven.

• De eerste getijgolf komt vanuit het zuiden, vanaf de Atlantische Oceaan via het Nauw van Calais de Noordzee binnen. Deze getijgolf wordt in de zuidelijke Noordzee tegen de wijzers van de klok in omgebogen en versmelt in dit gebied met de getijgolf uit het noorden. Ze is voor de Noordzee van geringere invloed.
• De tweede getijgolf komt vanuit het noorden vanaf de Atlantische Oceaan om Schotland heen de Noordzee binnen en beweegt zich vervolgens eerst langs de oostkust van Schotland en Engeland zuidwaarts. Zij wordt tegen de wijzers van de klok in omgebogen in het nauwere zuidelijke deel van de Noordzee om zich, na versmelting met de restanten van de zuidelijke getijgolf, verder in noordoostelijke richting langs de kust van Nederland, Duitsland en Denemarken voort te bewegen.

Karakteristiek voor met name de zuidelijke Noordzee is de geringe dagelijkse ongelijkheid, ondanks de ligging op grotere breedtegraad. Dit komt doordat de twee getijgolven die het getij in de Noordzee bepalen een halve dag met elkaar in leeftijd verschillen. Wanneer de ene golf als gevolg van de dagelijkse ongelijkheid verhoogd is, dan is de andere juist verlaagd, en omgekeerd.

De tijden waarop eb en vloed optreden op een punt langs de kust worden sterk bepaald door de lokale geografie.

Voor de Nederlandse kust geldt dat de tijden van hoog- en laagwater zich vrij regelmatig verlaten vanaf de Wielingen tot aan Delfzijl. Het gemiddeld havengetal (tijd tussen doorgang van de Maan door de plaatselijke meridiaan en het eerstvolgende hoogwater) is voor Vlissingen 0 uur en 52 minuten, voor Hoek van Holland 1 uur en 30 minuten, IJmuiden 2 uur 37, Den Helder 7 uur 4, Harlingen 9 uur 7, en Delfzijl 11 uur en 11 minuten. Het getijverschil (verschil in waterhoogte van hoog- en laagwater) bedraagt bij Vlissingen gemiddeld ongeveer 382 cm. Bij Hoek van Holland is dat slechts 169 cm, en bij Den Helder 137 cm. Daarna neemt het echter weer toe: bij Harlingen is het 201 cm en bij Delfzijl 299 cm.

De Middellandse Zee heeft bijna geen getijden. Het verschil tussen hoog- en laagwater bedraagt gemiddeld maar ongeveer 15 centimeter. Deze binnenzee is te klein om een eigen getijde te laten ontstaan, en het getij in de Middellandse Zee wordt dus hoofdzakelijk bepaald door de getijgolf die van de Atlantische Oceaan via de nauwe Straat van Gibraltar binnenkomt. De hoeveelheid water die daar per getij kan passeren kan slechts een kleine getijdenbeweging in de Middellandse Zee in stand houden.

Er zijn verschillende niveauvlakken gedefinieerd. Een aantal daarvan is eenvoudig uit te drukken in een harmonische formule van partiële getijden, maar bij de astronomische getijden zijn deze zeer ingewikkeld. Een aantal is gebaseerd op waarnemingen over een periode van 19 jaar, de Metoncyclus. Enkele waterstanden worden gebruikt als reductie- of hoogteherleidingsvlak.

• Getijdenveld
• Getijgolf
• Getijstroom
• Getijrivier
• Kentering (getij)
• Wantij
• Zoper
• Getijdenirrigatie
• Getijdenenergie

• Getijdenvoorspellingen Nederland (Rijkswaterstaat)
• Getijden informatie (Nautin)
• Getijdenvoorspellingen Vlaanderen (KMI)
• Actuele waterstanden in Vlaanderen (Vlaamse overheid)
• (en) Tidal Misconceptions, by Donald E. Simanek, pagina waarin veel algemeen voorkomende misverstanden over getijden op heldere wijze worden ontkracht. (gearchiveerd)

 

Dit artikel is op 11 mei 2012 in deze versie opgenomen in de etalage.

 

Zie de categorie Tides van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.