Gelijkzwevende stemming

De eerste van wie bekend is dat hij zich met berekeningen betreffende de gelijkzwevende stemming bezighield was Zhu Zaiyu (Chu-Tsaiyu, 朱載堉) die ten tijde van de Mingdynastie daarover in 1580 schreef in Samengaan van muziek en kalender (律暦融通), en in 1584 in het Compleet compendium over muziek en stemming (Yuelü quan shu 樂律全書). Vincenzo Galilei (de vader van Galileo Galilei) bepleitte in 1581 al een dergelijke stemming. Ook Simon Stevin hield zich bezig met berekeningen aan intervallen van onder meer de gelijkzwevende stemming, maar het duurde tot het begin van de 19e eeuw voor piano's gebouwd werden met deze stemming.

In tegenstelling tot wat vaak gezegd wordt,^[bron?] is de serie composities Das Wohltemperierte Klavier van Johann Sebastian Bach niet geschreven om te demonstreren wat er met evenredigzwevende stemming mogelijk is (de evenredigzwevende temperatuur werd berekend door theoretici in de barok, in de praktijk werd de gelijkzwevende temperatuur gestemd, zoals beschreven door Mersenne in L'Harmonie Universelle, 1636, Neidhardt in Temperatur des Monochordi, 1706, en anderen), maar bedoeld voor de welgetempereerde stemming zoals die mogelijk was door het werk van de Duitse organist en muziektheoreticus Andreas Werckmeister.

Werckmeister veranderde zijn ideeën over stemming tijdens zijn leven. In 1691 publiceerde hij zijn Musikalische Temperatur waarin zijn bekende Werckmeister III, in 1698 in zijn Anmerkungen und Regeln waarin hij voorstelt bijna alle kwinten te klein te stemmen of alle kwinten te klein als men in alle 24 toonaarden wil spelen. In zijn in 1707 uitgegeven boek Musikalische Paradoxal-Diskurse schrijft hij dat de evenredigzwevende temperatuur de beste is, de bijna evenredigzwevende temperatuur is dan zijn tweede keuze.^[2]

Doordat de frequentieverhouding van een octaaf 2 is, overeenkomend met 1200 cent, wordt de verhouding van een halve toonafstand gelijk aan ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$  of 100 cent. Dit geeft de volgende frequentieverhoudingen voor gelijkzwevende stemming, uitgaande van c als grondtoon, vergeleken met de reine stemming:

toon	interval t.o.v. grondtoon c		frequentieverhouding t.o.v. grondtoon c			toonafstand t.o.v. grondtoon c			afwijking
			gelijkzwevend	rein		gel.zw.	rein
c	prime		20⁄12 = 1	1/1 = 1		= 0	= 0		0
des	kleine secunde		21⁄12 ≈ 1,059463094	16/15 ≈ 1,0667		= 100	≈ 112		−0,68%
d	grote secunde		22⁄12 ≈ 1,122462048	9/8 = 1,125		= 200	≈ 204		−0,23%
es	kleine terts		23⁄12 ≈ 1,189207115	6/5 = 1,2		= 300	≈ 316		−0,91%
e	grote terts		24⁄12 ≈ 1,25992105	5/4 = 1,25		= 400	≈ 386		+0,79%
f	reine kwart		25⁄12 ≈ 1,334839854	4/3 ≈ 1,3333		= 500	≈ 498		+0,11%
fis	overmatige kwart		26⁄12 ≈ 1,414213562	7/5 = 1,4		= 600	≈ 583		+1,02%
g	reine kwint		27⁄12 ≈ 1,498307077	3/2 = 1,5		= 700	≈ 702		−0,11%
as	kleine sext		28⁄12 ≈ 1,587401052	8/5 = 1,6		= 800	≈ 814		−0,79%
a	grote sext		29⁄12 ≈ 1,681792831	5/3 ≈ 1,6667		= 900	≈ 884		+0,90%
bes	kleine septiem		210⁄12 ≈ 1,781797436	16/9 ≈ 1,7778		= 1000	≈ 996		+0,23%
b	grote septiem		211⁄12 ≈ 1,887748625	15/8 = 1,875		= 1100	≈ 1088		+0,68%
c'	octaaf		212⁄12 = 2	2/1 = 2		= 1200	= 1200		0

Als f₀ de frequentie van de grondtoon is, berekent men de frequentie f_n van de toon op n halve toonafstanden als;

${\displaystyle f_{n}=2^{\frac {n}{12}}f_{0}}$ 

Om voor de tegenwoordig gebruikelijke stemtoonhoogte een centrale a' van 440 Hz te krijgen, moet de A in het laagst bruikbare octaaf ("A) dus een frequentie van 27,5 Hz hebben en de laagste C ("C) daarmee 16,3516 Hz zijn.

Soms wordt een octaaf verdeeld in meer dan 12 gelijke delen:

• 19-toonsverdeling (19 tonen gelijkzwevend)
• kwarttoonverdeling (24 tonen gelijkzwevend)
• 31-toonsverdeling (31 tonen gelijkzwevend) (ontwikkeld door Christiaan Huygens)

• Breukgetal
• Harmonische boventoonreeks
• Lijst van intervallen
• Microtonale muziek
• Stemming (muziek)
• Toonstelsel.

• Geluidsfragment met verschil in zuiverheid tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend
• Pianofragment met verschil in toonhoogte tussen Gelijkzwevend en Rein
• Welgetemperd Stemmen, volgens de Werckmeister Definitie