Gegeneraliseerde coördinaten

De positie van een massapunt op een bol om de oorsprong met straal ${\displaystyle r}$  (dus in een driedimensionale ruimte) kan beschreven worden door de cartesische coördinaten ${\displaystyle x,\ y}$  en ${\displaystyle z}$ , waartussen dan de relatie bestaat:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

Cartesische coördinaten zijn niet geschikt als gegeneraliseerde coördinaten voor de beschrijving van een beweging over een boloppervlak. De beweging op een bol kan eenvoudig beschreven worden met bolcoördinaten. In dit geval met de straal ${\displaystyle r}$ , die constant gehouden wordt, en de hoeken ${\displaystyle \vartheta }$  (t.o.v. de z-as) en ${\displaystyle \varphi }$  (t.o.v. de x-as). De waarden van ${\displaystyle \vartheta }$  en ${\displaystyle \varphi }$  kunnen onafhankelijk van elkaar gekozen worden en vormen dus een stelsel van twee gegeneraliseerde coördinaten. Het systeem heeft twee vrijheidsgraden, immers de straal ${\displaystyle r}$  is constant.

Een cirkelbeweging in de driedimensionale ruimte kan vervolgens worden gerealiseerd door niet alleen ${\displaystyle r}$ , maar ook een van de twee hoekcoördinaten constant te houden, bijvoorbeeld ${\displaystyle \vartheta =0}$  (de beweging vindt dan plaats in het xy-vlak). De hoek ${\displaystyle \varphi }$  van het bewegende lichaam op de cirkel is nu de enige overgebleven vrijheidsgraad.

• Poolcoördinaten
• Bolcoördinaten