Gamma-matrices

Gamma-matrices zijn anticommuterende 4x4-matrices ${\displaystyle \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}}$ die voldoen aan de relaties

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{0}=I,\quad \gamma ^{k}\gamma ^{k}=-I,\quad k=1,2,3}$

en voor ${\displaystyle \mu \neq \nu }$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

waar ${\displaystyle I}$ de 4x4-eenheidsmatrix is. Deze relaties kunnen samengevat worden als

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I}$.

${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ is de metrische tensor

${\displaystyle g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Er zijn veel mogelijkheden om te voldoen aan deze relaties.

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices te noteren als

${\displaystyle \gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$.

De gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. De Diracvergelijking kan in relativistische eenheden worden geschreven als

${\displaystyle (\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$

waarbij ${\displaystyle \psi =\psi (x^{\mu })}$ de (relativistische) golffunctie is, ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu },\;x^{0}=t,\quad m}$ is de massa van het fermion, en de einstein-sommatieconventie is gebruikt (sommatie over de index ${\displaystyle \mu }$).

Dirac-matrices

De Dirac-matrices voldoen aan bovenstaande relaties en zijn dus gamma-matrices.

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$.

Weyl-matrices

Ook de Weyl-matrices zijn gamma-matrices:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,3}$ zijn hetzelfde als in de Dirac matrices. ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ is diagonaal.

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

De Weyl-matrices zijn bekend als de spinor representatie.