Bètafunctie

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde, die gedefinieerd is als

${\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t}$

voor complexe getallen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$, wat wil zeggen dat ${\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}$.

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,{\rm {d}}\theta ,\quad ({\rm {Re}}(x)>0,\,{\rm {Re}}(y)>0)}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {x+y}{n}}}{(1+{\frac {x}{n}})(1+{\frac {y}{n}})}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}}$

Er is een goniometrische vorm van de Bètafunctie:

${\displaystyle B(x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ {(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}}\,\mathrm {d} t}$

Uit de formule van Euler kunnen de volgende speciale gevallen worden afgeleid:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)}$

Veel bètafunctiewaarden voor rationale getalparen kunnen worden weergegeven met pi en met volledige elliptische integralen van de eerste soort.

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]}$

• Bètafunctie op MathWorld