Concordant (statistiek)

In de statistiek wordt een paar (verschillende) waarnemingsparen ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ en ${\displaystyle (X_{j},Y_{j})}$ van een tweetal stochastische variabelen concordant genoemd, als de ordening van ${\displaystyle X_{i}}$ en ${\displaystyle X_{j}}$ overeenkomt met de ordening van ${\displaystyle Y_{i}}$ en ${\displaystyle Y_{j}}$. Is de ordening tegengesteld, dan heet het paar discordant.

Een concordant paar heeft dus met ${\displaystyle X_{i}<X_{j}}$ ook ${\displaystyle Y_{i}<Y_{j}}$, en met ${\displaystyle X_{i}>X_{j}}$ ook ${\displaystyle Y_{i}>Y_{j}}$.

Een discordant paar heeft met ${\displaystyle X_{i}<X_{j}}$ daarentegen ${\displaystyle Y_{i}>Y_{j}}$, en met ${\displaystyle X_{i}>X_{j}}$ analoog ${\displaystyle Y_{i}<Y_{j}}$

Deze eigenschappen kunnen met de functie signum als volgt geformuleerd worden.

Laat ${\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}$ een steekpoef zijn van het tweetal simultaan verdeelde stochastische variabelen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$. Het tweetal paren ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ en ${\displaystyle (X_{j},Y_{j}),j\neq i}$ met ${\displaystyle X_{i}\neq X_{j}}$ en ${\displaystyle Y_{i}\neq Y_{j}}$ heet een concordant paar als

${\displaystyle \operatorname {sgn}(X_{i}-X_{j})=\operatorname {sgn}(Y_{i}-Y_{j})}$.

Het tweetal heet een discordant paar als

${\displaystyle \operatorname {sgn}(X_{i}-X_{j})=-\operatorname {sgn}(Y_{i}-Y_{j})}$.

Het tweetal paren ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ en ${\displaystyle (X_{j},Y_{j})}$ van een concordant (discordant) paar worden ook concordante (discordante) paren genoemd.

De steekproef van twee simultaan verdeelde dichotome stochastisch variabelen ${\displaystyle X}$ met waarden ${\displaystyle x_{0}}$ en ${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$, en ${\displaystyle Y}$ met waarden ${\displaystyle y_{0}}$ en ${\displaystyle y_{1}>y_{0}}$ kan eenvoudig weergegeven worden in de kruistabel:

	${\displaystyle Y=y_{0}}$	${\displaystyle Y=y_{1}}$
${\displaystyle X=x_{0}}$	${\displaystyle N_{00}}$	${\displaystyle N_{01}}$
${\displaystyle X=x_{1}}$	${\displaystyle N_{10}}$	${\displaystyle N_{11}}$

waarin ${\displaystyle N_{ij}}$ de aantallen steekproefelementen met de betrokken waarden voorstellen.

Het tweetal ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ is een concordant paar en het tweetal ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ een discordant paar. Anders gezegd zijn ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ en ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ concordante paren en ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ en ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ discordante paren.

Er zijn ${\displaystyle N_{00}}$ paren ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ en ${\displaystyle N_{11}}$ paren ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ die gecombineerd een concordant paar vormen. Het aantal concordante paren bedraagt dus ${\displaystyle N_{00}N_{11}}$, waarbij is afgezien van de volgorde.

Er zijn ${\displaystyle N_{01}}$ paren ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ en ${\displaystyle N_{10}}$ paren ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ die gecombineerd een discordant paar vormen. Het aantal discordante paren bedraagt dus ${\displaystyle N_{01}N_{10}}$, waarbij is afgezien van de volgorde.

Dit kan ook als volgt beschreven worden. De ${\displaystyle n=N_{00}+N_{01}+N_{10}+N_{11}}$ steekproefelementen kunnen gecombineerd worden tot ${\displaystyle n^{2}}$ paren, bestaande uit alle ${\displaystyle N_{ij}N_{rs}}$ paren ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ ${\displaystyle (x_{r},y_{s})}$ voor ${\displaystyle i,j,r,s\in \{0,1\}}$

Daarvan zijn de ${\displaystyle N_{00}N_{11}}$ paren ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ concordant, en in wezen dezelfde als de ${\displaystyle N_{11}N_{00}}$ paren ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Evenzo zijn de ${\displaystyle N_{01}N_{10}}$ paren ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ discordant, en in wezen dezelfde als de ${\displaystyle N_{10}N_{01}}$ paren ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$.

De begrippen 'concordant' en 'discordant' vinden toepassing in:

• Kendalls tau

• Kendall rank correlation.
• Kendall, M. (1948) Rank Correlation Methods, Charles Griffin & Company Limited
• Kendall, M. (1938) "A New Measure of Rank Correlation", Biometrica, 30, 81-89.

• MacTutor: David George Kendall
• Janus: The Papers of Professor David Kendall