Perbincangan graf

Dalam matematik, perbincangan graf membincangkan tentang ciri-ciri sesuatu graf (biasanya graf lengkung, ia jarang digunakan untuk graf linear) bagi sesuatu fungsi, seperti pintasan-x (punca), pintasan-y, titik maksimum, titik minimum, titik lengkok balas, dan beberapa lagi perkara yang perlu dikaji untuk mengetahui bentuk sesuatu graf dan melukisnya.

Berikut adalah sepuluh perkara asas yang perlu dibincangkan untuk melukis sesuatu graf lengkung:-

Dalam perbincangan graf, hampir semua nilai x dalam nombor nyata dianggap sebagai domain. Domain yang paling maksimum yang boleh dicapai adalah semua nilai nyata x, iaitu di mana nilai f(x) wujud. Hal ini boleh dibandingkan dengan fungsi polinomial, iaitu fungsi yang mempunyai domain sama dengan semua nilai nyata x. Dalam fungsi yang melibatkan pecahan pula, semua nilai x adalah domain kecuali punca-punca bagi penyebut.

Contoh:-

• ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x-2}};\quad D=\mathbb {R} \setminus \{2\}}$

Fungsi di atas menunjukkan bahawa nilai x tidak boleh sama dengan 2 kerana akan menyebabkan nilai penyebut sama dengan 0 (x - 2 = 0) yang mana menyebabkan nilai f(x) tidak wujud.

• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {25-x^{2}}};\quad D=\{x\in \mathbb {R} |-5\leq x\leq 5\}=[-5;5]}$

Fungsi di atas pula menunjukkan bahawa nilai x mestilah dalam lingkungan -5 dan 5 (-5 ≤ x ≤ 5) kerana nilai x yang luar dari lingkungan ini (x < -5 atau x > 5) akan menyebabkan nilai 25 – x² < 0 di mana f(x) tidak mempunyai nilai nyata.

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}-4}{x-2}};\quad D=\mathbb {R} \setminus \{2\}}$

Fungsi di atas pula menunjukkan bahawa nilai f(x) tidak wujud apabila x = 2 walaupun pada titik ini pada asalnya adalah punca kepada fungsi tersebut.

Untuk mencari punca-punca sesuatu fungsi, nilai apabila f(x) = 0 mestilah dikira. Walaupun sesuatu fungsi itu adalah dalam bentuk pecahan, penyebutnya boleh diabaikan dan hanya pengangka sahaja yag perlu disamakan dengan 0 untuk mencari puncanya.

Untuk mencari pintasan-y pula, hanya perlu menggantikan nilai x = 0 sahaja ke dalam fungsi tersebut (iaitu nilai f(0)).

Terdapat 4 jenis kesimetrian bagi sesuatu fungsi tetapi hanya 2 kesimetrian yang biasa ditemui dalam sesuatu graf sahaja yang dibincangkan di sini iaitu:-

1. kesimetrian paksi, yang merujuk kepada paksi-y. Graf sesuatu fungsi adalah kesimetrian paksi apabila:-

${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Dalam erti kata lain, nilai f(x) bagi x ≥ 0 adalah sama dengan nilai f(x) bagi x ≤ 0 (graf tersebut seolah-olah dipantulkan pada paksi-y).

2. kesimetrian titik atau kesimetrian koordinat, yang merujuk kepada titik asalan. Graf sesuatu fungsi bersifat kesimetrian titik apabila:-

${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

Dalam erti kata lain, nilai f(x) bagi x ≥ 0 adalah sama dengan nilai -f(x) bagi x ≤ 0 (Graf seolah-olah diputarkan 180° pada titik asalan.

Biasanya hasil pembezaan yang dicari adalah hasil pembezaan:-

1. pertama
2. kedua
3. ketiga

Hal ini adalah untuk memudahkan pengiraan yang seterusnya.

Untuk mencari titik maksimum dan atau atau titik minimum ini, terdapat 2 syarat diperlukan iaitu:-

1. syarat wajib. Dalam syarat ini,hasil pembezaan pertama perlu dicari terlebih dahulu. Kemudian, hasil ini disamakan dengan 0 untuk mencari punca bagi nilai hasil pembezaan ini.

${\displaystyle f'\,(x)=0}$

2. syarat cukup. Punca (katakan x₀) bagi f'(x) digunakan dalam hasil pembezaan kedua (f’’(x₀). Jika :-

• ${\displaystyle f''~(x_{0})>0}$, maka f(x) mencecah titik minimum pada titik x₀.
• ${\displaystyle f''~(x_{0})<0}$, maka f(x) mencecah titik maksimum pada titik x₀.

Terdapat juga kaedah lain iaitu ujian simbol untuk digunakan bagi memenuhi ‘’syarat cukup’’ tetapi kaedah ini tidak dibincangkan di sini.

Titik ini biasanya wujud bagi fungsi yang x-nya mempunyai kuasa sama atau lebih besar daripada 3 dan fungsi trigonometri. Untuk mencari titik lengkok balas, juga terdapat 2 syarat yang diperlukan iaitu:-

1. syarat wajib. Dalam syarat ini,hasil pembezaan kedua perlu dicari terlebih dahulu. Kemudian, hasil ini disamakan dengan 0 untuk mencari punca bagi nilai hasil pembezaan ini.

${\displaystyle f''\,(x)=0}$

2. syarat cukup. Punca (katakan x₁) bagi f’’(x) digunakan dalam hasil pembezaan ketiga (f’’’(x₁). Jika :-

• ${\displaystyle f'''~(x_{1})\neq 0}$, maka f(x) mencecah titik lengkok balas pada titik x₁.
• ${\displaystyle f'''(x_{1})=0}$, maka f(x) mungkin mencecah titik lengkok balas melintang pada titik x₁.

Terdapat 2 jenis asimptot iaitu:-

1. asimptot menegak. Asimptot ini biasanya wujud dalam fungsi yang melibatkan pecahan pada tititk di mana nilai x adalah punca kepada penyebut. Asimptot menegak wujud apabila domain yang menghampiri x menghasilkan nilai f(x) yang menuju infiniti. Contoh:-

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}};\quad D=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Garisan x = 0 (yang juga sama dengan paksi-y) adalah asimptot menegak.

2. asimptot umum. Asimptot ini juga biasanya diwakili dengan persamaan y = mx + c. Untuk persamaan polinomial, selalunya asimptot ini tidak wujud. Kaedah untuk mencari persamaan asimptot ini ialah dengan mencari nilai m dan c seperti berikut:-

• ${\displaystyle m=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}}$
• ${\displaystyle c=\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-(mx))}$

Ragam ini dikaji untuk megetahui sama ada f(x) menuju ke infiniti atau menghampiri sesuatu nilai malar apabila nilai x adalah teramat besar atau teramat kecil. Ragam fungsi apabila x → ∞ perlu dikaji dari 2 bahagian iaitu:-

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

Untuk memudahkan lagi proses melakar graf, satu jadual yang mengandungi hubungkait antara nilai x dan f(x) dibentuk. Dalam jadual ini juga, hasil pembezaan pertama, kedua dan ketiga fungsi tersebut juga boleh ditambah agar dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang lain.

Daripada semua pengiraan di atas, satu lakaran graf yang mewakili fungsi yang dicari boleh dibentuk. Skala untuk graf yang ingin dilukis bergantung pada kesesuaian.

Fungsi yang diberi ialah:-

${\displaystyle {f(x)}={\frac {x^{3}-4x^{2}+4x}{4x^{2}-8x+4}}}$

1. Domain.

${\displaystyle \quad D=\mathbb {R} \setminus \{1\}}$

2. Pintasan-x dan pintasan-y.

a) Untuk pintasan-x,

${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}-4x^{2}+4x}{4x^{2}-8x+4}}=0}$

${\displaystyle {x^{3}-4x^{2}+4x}=0}$

${\displaystyle x(x^{2}-4x+4)=0}$

${\displaystyle x=0}$ atau ${\displaystyle x=2}$

Titik atau koordinat pintasan-x ini ialah (0 , 0) atau (2 , 0).

b) Untuk pintasan-y pula,

${\displaystyle f(0)=0}$

Titik atau koordinat pintasan-y ini pula ialah(0 , 0).

3. Kesimetrian.

a) Pertama sekali, kesimetrian paksi dikaji untuk melihat sama ada fungsi tersebut adalah simetri berhubung paksi-y atau tidak.

${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

${\displaystyle {f(-x)}={{(-x)^{3}-4(-x)^{2}+4(-x)} \over {4(-x)^{2}-8(-x)+4}}}$

${\displaystyle {f(-x)}={{-x^{3}-4x^{2}-4x} \over {4x^{2}+8x+4}}}$

${\displaystyle f(-x)\neq f(x)}$

b) Daripada pengiraan di atas, telah terbukti bahawa fungsi tersebut tidak bersifat kesimetrian paksi.Oleh itu, kesimetrian titik pula dikaji untuk melihat sama ada fungsi tersebut adalah simetri berhubung titik asalan atau tidak.

${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

${\displaystyle {-f(x)}={{-((x)^{3}-4(x)^{2}+4(x))} \over {4(x)^{2}-8(x)+4}}}$

${\displaystyle {-f(x)}={{-x^{3}+4x^{2}-4x} \over {4x^{2}+8x+4}}}$

${\displaystyle f(-x)\neq -f(x)}$

Daripada pengiraan di atas, telah terbukti bahawa fungsi tersebut tidak bersifat kesimetrian paksi mahupun kesimetrian titik.

4. Hasil pembezaan.

Berikut adalah fungsi dan hasil-hasil pembezaan pertama, kedua dan ketiganya.

${\displaystyle {f(x)}={{x(x-2)^{2}} \over {4(x-1)^{2}}}}$

${\displaystyle {f'(x)}={{(x-2)(x^{2}-x+2)} \over {4(x-1)^{3}}}}$

${\displaystyle {f''(x)}={{4-x} \over {2(x-1)^{4}}}}$

${\displaystyle {f'''(x)}={{3x-15} \over {2(x-1)^{5}}}}$

5. Titik maksimum dan titik minimum.

a) Syarat wajib.

${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)(x^{2}-x+2)}{4(x-1)^{3}}}=0}$

${\displaystyle (x-2)(x^{2}-x+2)=0}$

${\displaystyle (x-2)=0}$

${\displaystyle x=2}$

b) Syarat cukup.

${\displaystyle f''(2)=1}$

Daripada syarat cukup di atas, nilai f’’(2) adalah lebih besar dari 0 yang bererti bahawa fungsi mencecah titik minimum apabila x = 2. Dengan itu, titik minimum tersebut ialah (2 , 0) .

6. Titik lengkok balas.

a) Syarat wajib.

${\displaystyle f''(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {4-x}{2(x-1)^{4}}}=0}$

${\displaystyle (4-x)=0}$

${\displaystyle x=4}$

b) Syarat cukup.

${\displaystyle f'''(4)={\frac {-1}{162}}}$

Daripada syarat cukup di atas, nilai f’’’(4) tidak sama dengan 0. Ini bereti bahawa fungsi mencecah titik lengkok balas apabila x = 4. Dengan itu, titik lengkok balas tersebut ialah (4 , 7/27) .

7. Asimptot.

a) Terdapat satu asimptot menegak pada garisan x = 1, kerana:-

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}f(x)=\infty }$

b) Berdasarkan pengiraan, garisan y = 0.25x – 0.5 adalah asimptot umum.

8. Ragam fungsi apabila x→±∞.

Apabila x menuju ke negatif infiniti, f(x) juga menuju ke negatif infiniti dan apabila x menuju ke positif infiniti, f(x) juga menuju ke positif infiniti. Ini boleh ditunjukkan melalui pengiraan di bawah:-

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty }$

9. Jadual.

Dalam contoh ini, tiada jadual disediakan.

10. Lakaran graf.

• Graf (matematik)
• Graf fungsi
• Teori graf