Aequatio quadratica

Quae etiam per expressionem ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$  describuntur. Transformationibus sequentibus solutiones reperiri possunt:

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ ,

ergo ${\displaystyle x^{2}+px=-q}$ ,

ergo ${\displaystyle x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}={\frac {p^{2}}{4}}-q}$ ,

ergo ${\displaystyle (x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q}$ ,

ergo ${\displaystyle x_{1,2}+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}}$ ,

ergo ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}}$ 

Haec "parva formula solvendi" nominatur.

 

Eae formam ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$  tenent. Formula ad has aequationes solvendas reperitur, si in parva formula solvendi usurpatur pro p ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$  atque pro q ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ .

Ergo "magna formula solvendi" est:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 

Utraque formula solvendi primo aspectu videntur dicere solutionum duas esse, sed hoc non semper est. Tres casus solutionum, qui in numero ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{4}}-q}$  (in formula parva) vel ${\displaystyle b^{2}-4ac}$  (in formula magna) discriminantur; qui numerus qua de causa etiam "discriminans" nominatur:

1.) ${\displaystyle D>0}$ : duae solutiones reales

2.) ${\displaystyle D=0}$ : una solutio realis (proprie duae solutiones aequalis valoris)

3.) ${\displaystyle D<0}$ : nullae solutiones reales, sed duae solutiones complexae

Franciscus Vieta, proprie "François Viète," mathematicus Francogallicus, relationes inter solutiones aequationis quadraticae atque numeros coefficientes repperit, quae ad eius honorem "leges Vietae" nominantur. Dicunt:

"Si aequatio ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$  solutiones ${\displaystyle x_{1}}$  atque ${\displaystyle x_{2}}$  habet, leges sequentes valent:

1.) ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}$ 

2.) ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q}$ 

3.) ${\displaystyle x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}$  (expressio termini quadratici per factores lineares)"

• De aequationibus quadraticis in encyclopaedia Wolfram MathWorld (Anglice)