Kvadrat tenglama

Kvadrat tenglama — matematikada koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglama. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.\,}$

Bu yerda ${\displaystyle a,b,c}$ — haqiqiy sonlar va ${\displaystyle a\neq 0}$. Agar ${\displaystyle a=1}$ boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar ${\displaystyle a\neq 1}$ boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ sonlari quyidagicha ataladi:

• ${\displaystyle a}$ — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
• ${\displaystyle b}$ — ikkinchi koeffitsiyent;
• ${\displaystyle c}$ — ozod had.

I. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ kvadrat tenglama ildizlari

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

formula boʻyicha topiladi.

II. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ kvadrat tenglamani to'la kvadratga keltirish usuli bilan ham yechish mumkin.

1. Tenglamaning ikkala tarafini ${\displaystyle a}$ ga bo'lib yuborib, ${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}$ ga erishish mumkin.
2. Tenglamaning ikkala tarafidan ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ ayirib yuboriladi: ${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$
3. Tenglamaning ikkala tarafiga ${\displaystyle {\frac {b}{2a}}}$ ning kvadrati qo'shib yuboriladi: ${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}$
4. Natijada: ${\displaystyle (x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}$ ga erishiladi.
5. Tenglamaning ikkala tarafidan ildiz olgan holda, ${\displaystyle x}$ topiladi.

Misol:

${\displaystyle 2x^{2}+7x+3=0}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {7}{2}}x+{\frac {3}{2}}=0}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {7}{2}}x=-{\frac {3}{2}}}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {7}{2}}x+{\frac {49}{16}}=-{\frac {3}{2}}+{\frac {49}{16}}}$

${\displaystyle (x+{\frac {7}{4}})^{2}={\frac {25}{16}}}$

I. ${\displaystyle x+{\frac {7}{4}}={\frac {5}{4}}\Rightarrow x=-{\frac {1}{2}}}$

II. ${\displaystyle x+{\frac {7}{4}}=-{\frac {5}{4}}\Rightarrow x=-3}$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ tenglama ildizlari ${\displaystyle m}$ va ${\displaystyle n}$ bo'lsa, kvadrat tenglamani ${\displaystyle a(x-m)(x-n)=0}$ ko'rinishida yozish mumkin. Bu usul kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratishda keng qo'llanilinadi

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

Agar ${\displaystyle D<0}$ boʻlsa, kvadrat tenglama ildizlarga ega boʻlmaydi.

Agar ${\displaystyle D=0}$ boʻlsa, tenglama bitta ildizga ega boʻladi. ${\displaystyle D=0}$ boʻlgan holda baʼzan kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega ham deyiladi.

Agar ${\displaystyle D>0}$ boʻlsa, tenglama ikkita ildizga ega boʻladi.

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

belgilashdan foydalanib,

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

formulani

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$

koʻrinishda qayta yozish mumkin.

Agar

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

kvadrat tenglamada ikkinchi koeffitsiyent ${\displaystyle b}$ yoki ozod had ${\displaystyle c}$ nolga teng boʻlsa, tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamani ajratib koʻrsatishdan maqsad uning ildizini topishda kvadrat tenglama ildizlari formulasidan foydalanish shart emasligida — chala kvadrat tenglamani uning chap tomonini koʻpaytuvchilarga ajratib yechish qulaydir.

• Bikvadrat tenglama

• Kvadrat tenglama MathWorld saytida ^(ingl.)
• Kvadrat tenglamaning 101 foydasi ^(ingl.)