자유 대상

범주론과 추상대수학에서 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

구체적 범주 ${\displaystyle \operatorname {Forget} \colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$가 주어졌다고 하고, 망각 함자 ${\displaystyle \operatorname {Forget} }$의 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle F\dashv \operatorname {Forget} }$

가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 ${\displaystyle S}$로부터 생성되는, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 자유 대상은 ${\displaystyle F}$에 대한 상 ${\displaystyle F(S)}$이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 ${\displaystyle S\to \operatorname {Forget} (F(S))}$가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다.

대수 구조 다양체의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 연산들이 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$이며, 그 항수가 ${\displaystyle n_{i}}$라고 하자. 또한, ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$에서 성립하는 대수적 관계들이 ${\displaystyle (R_{j})_{j\in J}}$라고 하자. 또한, 임의의 집합 ${\displaystyle S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle T_{0}=S}$
• ${\displaystyle T_{r+1}=T_{r}\sqcup \bigsqcup _{i\in I}\overbrace {T_{r}\times \cdots \times T_{r}} ^{n_{i}}}$

${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{n_{i}})\in T_{r}\times \cdots \times T_{r}}$를 ${\displaystyle f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})}$로 표기하자. ${\displaystyle T_{r}}$는 대수 구조 연산을 ${\displaystyle r}$번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합

${\displaystyle T=\bigcup _{i=0}^{\infty }T_{i}}$

를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

${\displaystyle {\mathcal {V}}}$를 정의하는 대수적 관계들은 ${\displaystyle T}$ 위의 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 ${\displaystyle S}$의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, ${\displaystyle S}$로부터 생성되는 자유 대수 ${\displaystyle \langle S\rangle }$는 몫집합 ${\displaystyle T/{\sim }}$이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

${\displaystyle f_{i}([t_{1}],[t_{2}],\dots ,[t_{n_{i}}])=[f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})]}$

여기서 ${\displaystyle [-]}$은 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$에 대한 동치류이다.

대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.

• 집합의 범주: 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 "자유 집합"은 ${\displaystyle S}$ 자신이다.
• 점을 가진 집합의 범주: 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 "자유 점을 가진 집합"은 ${\displaystyle S\sqcup \{\bullet \}}$이다.
• 모노이드의 범주: 클레이니 스타 ${\displaystyle S^{*}}$
• 군의 범주: 자유군
• 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus |S|}}$
• 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군의 범주: 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 자유 가군 ${\displaystyle R^{\oplus |S|}}$
  • 만약 ${\displaystyle R=K}$가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다. 이 경우, 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 자유 가군은 ${\displaystyle S}$를 기저로 하는 벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {Span} _{K}S}$이다.
• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수의 범주: 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 자유 단위 결합 대수는 ${\displaystyle S}$를 기저로 하는 벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {Span} _{K}S}$ 위의 텐서 대수 ${\displaystyle T(\operatorname {Span} _{K}S)}$이다.
• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 가환 대수의 범주: 다항식환 ${\displaystyle K[S]}$
• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.

• 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$: 이산 공간
• 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CompHaus} }$: 집합 ${\displaystyle S}$에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간 ${\displaystyle S}$의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

• “Free algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free algebraic system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Free”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Free object”. 《nLab》 (영어). 
• “Free functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Free monad”. 《nLab》 (영어). 

• 모나드