이항 계수

조합론에서 이항 계수(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다.

자연수 ${\displaystyle n}$ 및 정수 ${\displaystyle k}$가 주어졌을 때, 이항 계수 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}n!/\left(k!(n-k)!\right)&0\leq k\leq n\\0&k<0\\0&k>n\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle !}$는 계승 (수학)이다. 이항 계수를 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ 대신 ${\displaystyle {}_{n}C_{k}}$나 ${\displaystyle C(n,k)}$로 쓰기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 나열한 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다.

${\displaystyle n=2k}$인 경우의 이항 계수를 중심 이항 계수(中心二項係數, 영어: central binomial coefficient)라고 한다. 이는 다음과 같다 (${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$).

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, … (OEIS의 수열 A000984)

이항 계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항 계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}}$

다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 파스칼의 법칙(Pascal-法則, 영어: Pascal’s rule)이라고 한다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}}$

이항 계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다.

이 공식들은 생성함수 ${\displaystyle (1+x)^{n}}$(의 도함수)의 ${\displaystyle x=1}$ 값으로부터 유도할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}}$

또한, 피보나치 수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1)}$

여기서 ${\displaystyle F(n)}$은 ${\displaystyle n}$번째 피보나치 수이다.

다음 항등식은 주세걸-방데르몽드 항등식(朱世傑-Vandermonde恒等式, 영어: Zhu–Vandermonde identity)이라고 한다.

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}={\binom {m+n}{k}}}$

이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심 이항 계수로 주어진다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

이는 조합론적으로 증명할 수 있다. ${\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}}$은 크기가 ${\displaystyle 2n}$ 집합 속에서 ${\displaystyle n}$개의 조합의 가짓수인데, 이는 크기 ${\displaystyle 2n}$의 집합의 처음 절반에서 ${\displaystyle k}$개를 고르고, 나머지 절반에서 ${\displaystyle n-k}$개를 고르는 가짓수의 ${\displaystyle k}$에 대한 합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}$과 같다.

이항 계수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{n}={\frac {x^{k}}{(1-x)^{k+1}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(n+k)!}}{\binom {n+k}{k}}x^{k}y^{n}=\exp(x+y)}$

중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$

일반적으로, 모든 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

${\displaystyle (n/k)^{k}\leq {\binom {n}{k}}\leq n^{k}/k!\leq (en/k)^{k}}$

중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {\binom {2n}{n}}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}\qquad \forall n\geq 1}$

${\displaystyle n\gg 1}$ 및 ${\displaystyle |1/2-k/n|\ll 1}$에 대하여, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}\approx {\frac {2^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}\exp(-(2k-n)^{2}/2n)}$

이에 따라, 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 특히, ${\displaystyle k=n/2}$일 경우 중심 이항 계수의 스털링 근사는 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {n}{n/2}}\approx {\frac {2^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}}$

이다.

만약 ${\displaystyle n\gg 1}$이며 ${\displaystyle n\gg k}$라면, 스털링 근사를 사용하여 이항 계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\frac {(n/k-1/2)^{k}\exp(k)}{\sqrt {2\pi k}}}}$

쿠머 정리(Kummer定理, 영어: Kummer’s theorem)에 따르면, 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n\geq k}$ 및 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여,

${\displaystyle p^{c}\mid {\binom {n}{k}}}$

인 최대 ${\displaystyle c}$는 다음과 같다.

${\displaystyle c=|\{b\in \mathbb {Z} ^{+}\colon k/p^{b}-\lfloor k/p^{b}\rfloor >n/p^{b}-\lfloor n/p^{b}\rfloor \}|}$

즉, 이는 ${\displaystyle k+(n-k)}$를 ${\displaystyle p}$진법에서 계산할 때 받아올림의 수와 같다.

뤼카의 정리는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다.

중심 이항 계수 ${\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}}$은 ${\displaystyle n>4}$에 대하여 항상 제곱 인수가 없는 정수이다. 이를 에르되시 추측(Erdős推測, 영어: Erdős squarefree conjecture)라고 한다. 에르되시 팔이 1980년에 추측하였고,^[1] 앤드루 그랜빌(영어: Andrew Granville)과 올리비에 라마레(프랑스어: Olivier Ramaré)가 1996년에 증명하였다.^[2]

임의의 양의 정수 ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\left|\{n<N\colon d\mid {\binom {n}{k}}\}\right|}{N(N+1)/2}}=1}$

${\displaystyle \textstyle N(N+1)/2=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{n}1}$은 ${\displaystyle n<N}$인 이항계수 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터(영어: David Singmaster)가 1974년에 증명하였다.^[3]

이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$에 대하여, 초한 이항 계수(超限二項係數, 영어: transfinite binomial coefficient)

${\displaystyle {\binom {\kappa }{\lambda }}}$

는 크기가 ${\displaystyle \kappa }$인 집합의, 크기가 ${\displaystyle \lambda }$인 부분 집합들의 수이다. 만약 ${\displaystyle \kappa }$와 ${\displaystyle \lambda }$가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다.

초한 이항 계수의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {\kappa }{\lambda }}={\begin{cases}\kappa ^{\lambda }&\lambda \leq \kappa \geq \aleph _{0}\\0&\lambda >\kappa \\{\binom {n}{k}}&k=\lambda <\aleph _{0},\;n=\kappa <\aleph _{0}\end{cases}}}$

첫 번째 경우는

${\displaystyle \kappa ^{\lambda }\leq {\binom {\kappa \lambda }{\lambda }}={\binom {\kappa }{\lambda }}\leq \kappa ^{\lambda }}$

이기 때문이다. (여기서 첫 부등식은 ${\displaystyle \lambda }$개의, 크기가 ${\displaystyle \kappa }$인 집합들에서 각각 하나의 원소를 뽑는 것이다.)

특히, 중심 이항 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {2\kappa }{\kappa }}={\binom {\kappa }{\kappa }}=2^{\kappa }}$

초한 이항 계수의 경우, 유한 이항 계수에 대하여 성립하는 대칭성이 일반적으로 성립하지 않는다.

${\displaystyle {\binom {\kappa +\lambda }{\lambda }}\neq {\binom {\kappa +\lambda }{\kappa }}}$

예를 들어

${\displaystyle {\binom {1+\aleph _{0}}{1}}=\aleph _{0}}$

${\displaystyle {\binom {1+\aleph _{0}}{\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}}$

이다.

조합론에서, 이항 계수는 크기가 ${\displaystyle n}$인 유한 집합의 크기가 ${\displaystyle k}$인 부분집합의 수이다. 즉, ${\displaystyle n}$개의 원소의 ${\displaystyle k}$개의 조합의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다.

• 카탈랑 수 ${\displaystyle \textstyle C_{n}={\binom {2n}{n}}/(n+1)={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}$는 다양한 조합론적 문제의 해이다.
• 크기가 ${\displaystyle n}$인 집합에서, 크기가 ${\displaystyle k}$인 중복집합을 고를 수 있는 가짓수는 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}$이다.
• ${\displaystyle k}$개의 기호 ${\displaystyle \bullet }$ 및 ${\displaystyle n}$개의 기호 ${\displaystyle \circ }$를 포함하는 문자열의 수는 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n+k}{k}}}$이다. 또한, ${\displaystyle \bullet \bullet }$을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n+1}{k}}}$이다.

이항 계수는 대수학에서 다음과 같이 이항급수의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다.

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}}$

통계학에서, 이항 계수는 이항분포를 정의하는 데 사용된다.

베르트랑의 공준을 증명할 때, 중심 이항 계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 중심 이항 계수는 아페리 상수 ${\displaystyle \zeta (3)}$가 무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{{n^{3}}{\binom {2n}{n}}}}}$

에 등장한다.

이항 계수는 파스칼의 삼각형의 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 오늘날 쓰이는 표기법 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$은 안드레아스 프라이헤르 폰 에팅스하우젠(독일어: Andreas Freiherr von Ettingshausen)이 1826년에 도입하였다.

• 포흐하머 기호
• 12정도

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). 《Concrete mathematics: a foundation for computer science》 (영어) 2판. Addison-Wesley Professional. ISBN 0-201-55802-5. MR 1397498. Zbl 0836.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Fowler, David (1996년 1월). “The binomial coefficient function”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 103 (1). doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. Zbl 0857.05003. 
• Goetgheluck, P. (1987년 4월). “Computing binomial coefficients”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 94 (4). doi:10.2307/2323099. JSTOR 2323099. Zbl 0617.05004. 
• Granville, Andrew (1997). 〈Arithmetic properties of binomial coefficients. I: Binomial coefficients modulo prime powers〉. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, R. Corless. 《Organic mathematics. Proceedings of the Organic Mathematics Workshop, December 12-14, 1995, Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia》. Canadian Mathematical Society Conference Proceedings (영어) 20. American Mathematical Society. 253–276쪽. ISBN 978-0-8218-0668-5. Zbl 0903.11005.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
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• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial coefficient”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Central binomial coefficient”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “이항계수와 조합”. 《수학노트》. 
• 이철희. “중심이항계수 (central binomial coefficient)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제”. 《수학노트》.