이산 공간

일반위상수학에서 이산 공간(離散空間, 영어: discrete space)은 모든 부분집합이 열린집합인 위상 공간이다. 대략, 고립돼 있는 점들로 이루어진 공간으로 생각할 수 있다.

이산 공간의 개념은 순수하게 일반위상수학적으로 정의할 수 있으며, 대신 범주론적으로, 또는 기하학적으로 정의할 수도 있다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 이산 공간이라고 한다.

• ${\displaystyle X}$ 위의 위상은 그 멱집합이다. 즉, ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합이 열린집합이다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 모든 한원소 집합은 열린집합이다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 조밀 집합은 ${\displaystyle X}$ 전체 밖에 없다.
• ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다.
• ${\displaystyle X}$를 공역으로 하는 연속 함수는 국소 상수 함수 밖에 없다. 즉, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ 및 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f|_{U}}$가 상수 함수인 근방 ${\displaystyle U\ni y}$가 존재한다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 점렬 ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}$이 수렴한다면, ${\displaystyle x_{N}=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots }$가 되는 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
• 국소 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.
• 국소 경로 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

범주론적으로, 이산 공간은 위상 공간의 구체적 범주에서의 자유 대상이다. 즉, 망각 함자 ${\displaystyle F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }$는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top} }$

${\displaystyle D\dashv F}$

를 가지며, 이 함자를 이산 함자라고 한다. 집합 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle D}$에 대한 상 ${\displaystyle I(S)}$는 ${\displaystyle S}$ 위의 이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 오른쪽 수반 함자는 비이산 공간 함자이다.)

집합 ${\displaystyle X}$ 위에는 다음과 같은 표준적 거리 함수를 줄 수 있다.

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}}$

이 거리 함수를 이산 거리 함수(離散距離函數, 영어: discrete metric)라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 거리 공간을 이산 거리 공간(離散距離空間, 영어: discrete metric space)이라고 한다. 이산 거리에 대한 거리 위상은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 거리화 가능 공간임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 또한 초거리 공간을 이룬다.

이산 공간에서는 모든 부분 집합이 열린닫힌집합이다.

모든 이산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 제1 가산 공간이다.
• 국소 콤팩트 공간이다.
• 하우스도르프 공간이다.
• 완전 정규 공간이다.
• 거리화 가능 공간이다.
• 다양체(=파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)이다. (그러나 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.)

이산 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle X}$는 유한 집합이다.

이산 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 제2 가산 공간이다.
• ${\displaystyle X}$는 가산 집합이다.

두 이산 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$는 서로 위상 동형이다.
• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• T₁ 공간이다.
• 이산 공간이다.

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 이산 공간이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \inf _{y\in X\setminus \{x\}}d(x,y)>0}$이다.

임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(n))}$은 이산 공간이다. (${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(n))}$의 점의 수는 ${\displaystyle n}$의 소인수의 수와 같다.)

• 기둥 집합
• 맨해튼 거리

• “Discrete topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Discrete space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.