아벨 확대

체론에서 아벨 확대(Abel擴大, 영어: Abelian extension)는 그 갈루아 군이 아벨 군이 되는 갈루아 확대이다.

아벨 확대는 갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대이다. 순환 확대(영어: cyclic extension)는 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대이다.

특정 경우, 주어진 체 위의 모든 순환 확대 및 아벨 확대를 분류할 수 있다.

• 쿠머 이론(Kummer理論, 영어: Kummer theory)은 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하는 체 위의 아벨 확대들을 분류한다. 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다.
• 쿠머 이론은 확대의 차수가 체의 표수와 겹치는 경우 사용될 수 없다. 이 경우 아르틴-슈라이어 이론(영어: Artin–Schreier theory)은 차수가 표수와 같은 경우의 순환 확대를 분류하며, 이를 일반화한 아르틴-슈라이어-비트 이론(영어: Artin–Schreier–Wit theory)은 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 이를 통해 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 유한 아벨 확대를 분류할 수 있다. 이에 따르면, 이러한 경우 모든 아벨 확대는 비트 벡터를 사용하여 구성되는 특정 다항식의 근들을 첨가하여 얻을 수 있다.
• 만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 유체론을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다.

유한 생성 아벨 군의 구조론에 따라, 모든 유한 아벨 군은 크기가 소수의 거듭제곱인 순환군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다. 따라서, 유한 아벨 확대를 분류하려면 소수 거듭제곱 크기의 순환 확대들을 분류하는 것으로 족하다.

쿠머 이론에 따르면, 1의 원시 ${\displaystyle n}$제곱근(즉, ${\displaystyle \{\zeta _{n}^{0},\zeta _{n},\dots ,\zeta _{n}^{n-1}\}}$이 모두 서로 다른, ${\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1}$인 원소 ${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$)을 갖는 체 ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle \operatorname {char} K\nmid n}$) 위의 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[1]:Theorem 1.1}

• ${\displaystyle n}$차 순환 확대 ${\displaystyle L/K}$이다.
• ${\displaystyle L/K\cong K({\sqrt[{n}]{a}})/K}$가 되는 ${\displaystyle a\in K}$가 존재한다.
• 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 ${\displaystyle L\cong K\otimes _{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]}$이 성립하는 원소 ${\displaystyle a\in K^{\times }}$가 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}L&\leftarrow &K[x,x^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow &\scriptstyle x\mapsto x^{n}\\K&{\underset {x\mapsto a}{\leftarrow }}&X\end{matrix}}}$

• 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 ${\displaystyle K}$-스킴 사상 ${\displaystyle a\colon \operatorname {Spec} K\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)}$이 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} L&\to &\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\\\downarrow &&\downarrow &\scriptstyle x\mapsto x^{n}\\\operatorname {Spec} K&{\underset {a}{\to }}&\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\end{matrix}}}$

여기서

• ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)=\operatorname {Spec} K[x,x^{-1}]=\operatorname {Spec} K[x,y]/(xy-1)}$은 ${\displaystyle K}$ 위의 곱셈 군 스킴이다.

이에 따라, ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n}$차 순환 확대는 ${\displaystyle K}$-스킴 사상 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)}$에 의하여 주어진다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$이 가역원인 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 쿠머 완전열(영어: Kummer exact sequence)이라고 한다.

${\displaystyle 1\to \mu _{n}(K)\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K){\xrightarrow {(-)^{n}}}\mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)\to 1}$

여기서

• ${\displaystyle \mu _{n}(K)=\operatorname {Spec} K[x]/(x^{n}-1)}$는 ${\displaystyle K}$ 속의 1의 ${\displaystyle n}$제곱근들로 구성된 군 스킴이다.
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)}$는 ${\displaystyle K}$의 가역원군에 해당하는 군 스킴이다.
• ${\displaystyle (-)^{n}\colon \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)}$는 ${\displaystyle n}$제곱에 해당하는 군 스킴 사상이다.

양의 표수 ${\displaystyle p>0}$의 체 ${\displaystyle K}$에서는 ${\displaystyle (x-1)^{p}=x^{p}-1}$이므로, 1의 ${\displaystyle p}$제곱근이 중복되며, 따라서 차수가 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱인 순환 확대에 대해서는 쿠머 이론을 적용시킬 수 없다. 이 경우 대신 아르틴-슈라이어(-쿠머) 이론을 적용시킬 수 있다.

아르틴-슈라이어 이론에 따르면, 양의 표수 ${\displaystyle p>0}$의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle p}$차 순환 확대 ${\displaystyle L/K}$이다.
• ${\displaystyle L}$이 ${\displaystyle x^{p}-x-a\in K[x]}$의 분해체가 되는 ${\displaystyle a\in K}$가 존재한다.
• 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 ${\displaystyle L\cong K\otimes _{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]}$이 성립하는 원소 ${\displaystyle a\in K^{\times }}$가 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}L&\leftarrow &K[x]\\\uparrow &&\uparrow &\scriptstyle x\mapsto x^{p}-x\\K&{\underset {x\mapsto a}{\leftarrow }}&K[x]\end{matrix}}}$

• 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 ${\displaystyle K}$-스킴 사상 ${\displaystyle a\colon \operatorname {Spec} K\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)}$이 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} L&\to &\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\\\downarrow &&\downarrow &\scriptstyle \operatorname {Frob} -\operatorname {id} \\\operatorname {Spec} K&{\underset {a}{\to }}&\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\end{matrix}}}$

여기서

• ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)=\operatorname {Spec} K[x]}$은 ${\displaystyle K}$ 위의 덧셈 군 스킴이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Frob} -\operatorname {id} \colon \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)}$는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환의 자기 사상 ${\displaystyle \operatorname {eval} _{x\mapsto x^{p}-x}\colon K[x]\to K[x]}$으로부터 정의된다.

표수가 ${\displaystyle p}$인 체 ${\displaystyle K}$ 위에서 다음과 같은 군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 아르틴-슈라이어 완전열(영어: Artin–Schreier exact sequence)이라고 한다.

${\displaystyle 1\to (\mathbb {Z} /p)_{/K}\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K){\xrightarrow {\operatorname {Frob} -\operatorname {id} }}\mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)\to 1}$

여기서

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)_{/K}=\operatorname {Spec} K[x]/(x^{p}-x)}$는 프로베니우스 사상의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.

아르틴-슈라이어-비트 이론은 ${\displaystyle p}$차 순환 확대에 적용되는 아르틴-슈라이어 이론을 ${\displaystyle p^{k}}$차에 대하여 일반화한 것이다.

아르틴-슈라이어-비트 이론에 따르면, 표수 ${\displaystyle p>0}$의 체 ${\displaystyle K}$의 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[2]:§7[1]:Theorem 1.2}

• 확대 ${\displaystyle L/K}$가 ${\displaystyle p^{n}}$차 순환 확대이다.
• ${\displaystyle L/K\cong K(f^{-1}({\vec {a}}))}$인 비트 벡터 ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {W} _{n,p}(K)\setminus f(\mathbb {W} _{n,p}(K)}$가 존재한다. 여기서 ${\displaystyle f\colon \mathbb {W} _{n,p}\to \mathbb {W} _{n,p}}$는 ${\displaystyle f\colon (a_{1},a_{p},a_{p^{2}}\dots )\mapsto (a_{1}^{p},a_{p},a_{p^{2}}^{p},\dots ,a_{p^{n-1}}^{p})-(a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots ,a_{p^{n-1}})}$이며, 여기서 ${\displaystyle -}$는 비트 벡터의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). ${\displaystyle K(f^{-1}({\vec {a}}))}$는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 ${\displaystyle n}$개의 다항식 ${\displaystyle (f({\vec {x}})-{\vec {a}})_{p^{i}}\in K[x]\qquad (i\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$들의 분해체를 뜻한다.
• 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 ${\displaystyle L\cong K\otimes _{K[{\vec {x}}]}K[{\vec {x}}]}$이 성립하는 원소 ${\displaystyle a\in \mathbb {W} _{n,p}(K)}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})}$는 비트 벡터의 성분으로 간주한 형식적 변수들이며, ${\displaystyle {\vec {x}}^{(p)}-{\vec {x}}}$에서 ${\displaystyle -}$는 비트 벡터로서의 뺄셈이며, ${\displaystyle {\vec {x}}^{(p)}=(x_{0}^{p},x_{1}^{p},\dots ,x_{n-1}^{p})}$는 프로베니우스 사상이다.)

  ${\displaystyle {\begin{matrix}L&\leftarrow &K[{\vec {x}}]\\\uparrow &&\uparrow &\scriptstyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {x}}^{(p)}-{\vec {x}}\\K&{\underset {{\vec {x}}\mapsto {\vec {a}}}{\leftarrow }}&K[{\vec {x}}]\end{matrix}}}$

• 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 ${\displaystyle K}$-스킴 사상 ${\displaystyle a\colon \operatorname {Spec} K\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(K)}$이 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} L&\to &\mathbb {W} _{n,p}(K)\\\downarrow &&\downarrow &\scriptstyle (-)^{(p)}-\operatorname {id} \\\operatorname {Spec} K&{\underset {a}{\to }}&\mathbb {W} _{n,p}(K)\end{matrix}}}$

여기서

• ${\displaystyle \mathbb {W} _{n,p}(K)}$는 길이 ${\displaystyle n+1}$의 ${\displaystyle p}$진 비트 벡터의 군이다. 스킴으로서 이는 ${\displaystyle n}$차원 아핀 공간 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spec} K[x_{0},\dots ,x_{n-1}]=\operatorname {Spec} [x_{0},\dots ,x_{n-1}]}$이며, 그 위의 군 스킴의 구조는 ${\displaystyle {\vec {x}}}$ 위의 비트 벡터 연산으로부터 유도된다. 특히, ${\displaystyle n=0}$일 경우 ${\displaystyle \mathbb {W} _{0,p}(K)\cong \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)}$가 된다.
• ${\displaystyle (-)^{(p)}-\operatorname {id} \colon \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }(K)}$는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환 ${\displaystyle K[{\vec {x}}]}$의 자기 사상 ${\displaystyle \operatorname {eval} _{{\vec {x}}\mapsto {\vec {x}}^{(p)}-{\vec {x}}}\colon K[x]\to K[x]}$으로부터 정의된다.

다음과 같은 짧은 완전열이 존재하며, 이를 아르틴-슈라이어-비트 완전열(영어: Artin–Schreier–Witt exact sequence)이라고 한다. 이는 아르틴-슈라이어 완전열의 일반화이다.

${\displaystyle 1\to (\mathbb {Z} /p^{n})_{/K}\to \mathbb {W} _{n,p}(K)\to {\xrightarrow {(-)^{p}-\operatorname {id} }}\mathbb {W} _{n,p}(K)\to 1}$

여기서

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p^{n})_{/K}=\operatorname {Spec} K[{\vec {x}}]/({\vec {x}}^{(p)}-{\vec {x}})}$는 프로베니우스 사상 ${\displaystyle (-)^{(p)}\colon \mathbb {W} _{n,p}(K)\to \mathbb {W} _{n,p}(K)}$의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.

쿠머 이론은 1의 거듭제곱근을 충분히 가지는 체에 대해서만 적용된다. 만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 그 아벨 확대들은 유체론을 통해 분류된다.

대표적인 예로, 원분체는 유리수체의 순환 확대이자 아벨 확대이다. 일반적으로, 소수 차수의 갈루아 확대는 (소수 크기의 군은 순환군 밖에 없으므로) 순환 확대이다.

쿠머 이론은 에른스트 쿠머가 1840년대에 페르마의 마지막 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.

이후 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 1927년에 아르틴-슈라이어 이론을 도입하였다.^[3] 에른스트 비트가 1936년에 비트 벡터의 개념을 도입하여 아르틴-슈라이어 이론을 아르틴-슈라이어-비트 이론으로 일반화하였다.^[4]

• Mézard, Ariane; Romagny, Matthieu; Tossici, Dajano. “Sekiguchi-Suwa theory revisited” (영어). arXiv:1104.2222. Bibcode:2011arXiv1104.2222M. 

• “Cyclotomic extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kummer extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Artin-Schreier theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kummer theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Kummer sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Artin-Schreier sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Kummer-Artin-Schreier-Witt exact sequence”. 《nLab》 (영어).