명제 논리

명제 논리(命題論理, 영어: propositional logic)는 내부 구조가 없는 명제에 논리합이나 부정 따위의 논리 연산을 가하여 구성한 명제들을 다루는 논리 체계이다.^{[1]:30, Chapter 3}

집합 ${\displaystyle I}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle I}$에 대한 명제 논리의 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}}$는 다음과 같은 기호들로 구성된다.

• 각 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, 원자 명제(原子命題, 영어: atomic proposition) ${\displaystyle {\mathsf {p}}_{i}}$
• 부정(否定, 영어: negation) ${\displaystyle \lnot }$과 실질적 함의(實質的含意, 영어: material implication) ${\displaystyle \Longrightarrow }$
  • 다른 논리 연산 기호들은 이 두 논리 연산을 통해 나타낼 수 있으므로 사용할 필요가 없다.
  • 다른 함수적 완전 집합을 사용하여도 좋다.

명제 논리의 논리식(論理式, 영어: (well-formed) formula)은 다음 문법을 따르는 명제 논리 기호들의 문자열이다.

• 모든 원자 명제는 논리식이다.
• 논리식 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot P}$와 ${\displaystyle P\Longrightarrow Q}$는 논리식이다.

주어진 논리 체계의 문장(文章, 영어: sentence)은 자유 변수를 갖지 않는 논리식으로 정의된다. 명제 논리의 논리식은 변수를 포함하지 않으므로 모든 논리식은 문장이다.

명제 논리의 추론 규칙과 공리 기본꼴들은 (임의의 논리식을 나타내는 기호 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$를 사용하여) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 추론 규칙
  • (전건 긍정의 형식)
    ${\displaystyle {\begin{matrix}P,\;P\Longrightarrow Q\\\hline Q\end{matrix}}}$
• 공리 기본꼴
  • ${\displaystyle P\Longrightarrow (Q\Longrightarrow P)}$
  • ${\displaystyle (P\Longrightarrow (Q\Longrightarrow R))\Longrightarrow ((P\Longrightarrow Q)\Longrightarrow (P\Longrightarrow R))}$
  • ${\displaystyle (\lnot P\Longrightarrow \lnot Q)\Longrightarrow (Q\Longrightarrow P)}$

명제 논리는 또 다른 함수적 완전 집합 ${\displaystyle \{\lnot ,\lor \}}$을 사용하여 전개할 수 있으며, 이 경우 명제 논리의 추론 규칙과 공리 기본꼴들은 (임의의 논리식을 나타내는 기호 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$를 사용하여) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 추론 규칙
  • (선언 도입, 영어: disjunction introduction, 또는 확장 규칙, 영어: expansion rule)
    ${\displaystyle {\begin{matrix}P\\\hline P\lor Q\end{matrix}}}$
  • (축소 규칙, 영어: contraction rule)
    ${\displaystyle {\begin{matrix}P\lor P\\\hline P\end{matrix}}}$
  • (결합 규칙, 영어: associative rule)
    ${\displaystyle {\begin{matrix}P\lor (Q\lor R)\\\hline (P\lor Q)\lor R\end{matrix}}}$
  • (절단 규칙, 영어: cut rule)
    ${\displaystyle {\begin{matrix}P\lor Q,\;\lnot P\lor R\\\hline Q\lor R\end{matrix}}}$
• 공리 기본꼴
  • (배중률) ${\displaystyle P\lor \lnot P}$

명제 논리의 모든 논리식의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{I})}$라고 표기하자. 그렇다면 명제 논리의 구조(構造, 영어: structure)는 다음 조건들을 만족시키는 함수 ${\displaystyle v\colon \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{I})\to \{0,1\}}$이다.

• 모든 논리식 ${\displaystyle P}$에 대하여,
  ${\displaystyle v(\lnot P)={\begin{cases}1&v(P)=0\\0&v(P)=1\end{cases}}}$
• 모든 논리식 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$에 대하여,
  ${\displaystyle v(P\Longrightarrow Q)={\begin{cases}1&v(P)=0\lor v(Q)=1\\0&v(P)=1\land v(Q)=0\end{cases}}}$

(여기서 ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \land }$는 메타 언어의 논리합·논리곱 기호이다.)

논리식 ${\displaystyle P}$와 구조 ${\displaystyle v}$에 대하여 ${\displaystyle v(P)=1}$이 성립한다면, ${\displaystyle v}$가 ${\displaystyle P}$를 만족(滿足, 영어: satisfy)시킨다고 하며, 이를

${\displaystyle v\models P}$

로 표기한다.

명제 논리의 논리식의 집합(즉, ${\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{I})}$의 부분 집합)을 명제 논리의 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다. 명제 논리의 이론 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$와 구조 ${\displaystyle v}$가 주어졌을 때, 임의의 ${\displaystyle P\in {\mathcal {T}}}$에 대하여 ${\displaystyle v\models P}$라면, ${\displaystyle v}$가 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 모형(模型, 영어: model)이라고 하며, 이를

${\displaystyle v\models {\mathcal {T}}}$

로 표기한다. 모형을 갖는 이론을 만족 가능 이론(滿足可能理論, 영어: satisfiable theory)이라고 한다.

명제 논리는 건전성, 완전성, 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

${\displaystyle n}$개의 원자 명제로 구성된 명제 논리의 논리식이 가질 수 있는 진리표는 총 ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$개이다. 특히, 명제 논리는 총 16개의 (서로 동치가 아닌) 2항 논리 연산이 존재하며, 이들은 다음과 같다.

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	모순 명제 ${\displaystyle \bot }$	논리곱 ${\displaystyle p\land q}$	비함의 ${\displaystyle p\not \Longrightarrow q}$	역비함의 ${\displaystyle p\not \Longleftarrow q}$	부정 논리합 ${\displaystyle p\downarrow q}$	첫째 성분 ${\displaystyle p}$	둘째 성분 ${\displaystyle q}$	실질적 동치 ${\displaystyle p\Longleftrightarrow q}$
1	1	0	1	0	0	0	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	1	0	0	1

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	항진 명제 ${\displaystyle \top }$	부정 논리곱 ${\displaystyle p\uparrow q}$	실질적 함의 ${\displaystyle p\Longrightarrow q}$	역함의 ${\displaystyle p\Longleftarrow q}$	논리합 ${\displaystyle p\lor q}$	첫째 성분의 부정 ${\displaystyle \lnot p}$	둘째 성분의 부정 ${\displaystyle \lnot q}$	배타적 논리합 ${\displaystyle p\veebar q}$
1	1	1	0	1	1	1	0	0	0
1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1	0	1
0	0	1	1	1	1	0	1	1	0

주어진 명제 논리의 2항 이하의 논리 연산의 집합으로부터 구성된 논리식이 모든 진리표를 나타낼 수 있고, 임의의 한 논리 연산을 제거하였을 때 나타낼 수 없는 진리표가 존재하게 된다면, 이 집합을 (극소) 함수적 완전 집합((極小)函數的完全集合, 영어: (minimal) functionally complete set)이라고 한다. 명제 논리의 극소 함수적 완전 집합은 정확히 다음과 같다.^[2]:132

• 크기 1 (총 2개)
  • ${\displaystyle \{\uparrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\downarrow \}}$
• 크기 2 (총 18개)
  • ${\displaystyle \{\Longrightarrow ,\lnot \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftarrow ,\lnot \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longrightarrow ,\lnot \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longleftarrow ,\lnot \}}$
  • ${\displaystyle \{\land ,\lnot \}}$
  • ${\displaystyle \{\lor ,\lnot \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longrightarrow ,\bot \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftarrow ,\bot \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longrightarrow ,\not \Longleftrightarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftarrow ,\not \Longleftrightarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longrightarrow ,\top \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longleftarrow ,\top \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longrightarrow ,\Longleftrightarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longleftarrow ,\Longleftrightarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longrightarrow ,\not \Longrightarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longrightarrow ,\not \Longleftarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftarrow ,\not \Longrightarrow \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftarrow ,\not \Longleftarrow \}}$
• 크기 3 (총 6개)
  • ${\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\land ,\top \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\lor ,\top \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longleftrightarrow ,\land ,\bot \}}$
  • ${\displaystyle \{\not \Longleftrightarrow ,\lor ,\bot \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\not \Longleftrightarrow ,\land \}}$
  • ${\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\not \Longleftrightarrow ,\lor \}}$
• 크기 4 이상의 극소 함수적 완전 집합은 존재하지 않는다.

• 1차 논리
• 2차 논리
• 고차 논리
• 불 대수
• 부울 도메인
• 불 함수
• 조합 논리
• 선언적 삼단 논법
• 장 뷔리당
• 논리 기호
• 부정논리합
• 수리 논리학
• 연산 (수학)
• 대칭차
• 진리표

• “Propositional calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Propositional calculus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.