단사 가군

환론에서 단사 가군(單射加群, 영어: injective module)은 이를 포함하는 모든 가군을 직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle Q}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 단사 왼쪽 가군이라고 한다.

• 임의의 짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to Q\to M\to K}$은 분할 완전열이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여 ${\displaystyle Q\subset M}$이라면, ${\displaystyle M=Q\oplus N}$인 부분 가군 ${\displaystyle K\subset M}$이 존재한다.
• ${\displaystyle Q}$는 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$의 단사 대상이다. 즉, 함자 ${\displaystyle \hom(-,Q)\colon R{\text{-Mod}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }$은 완전 함자이다.
• 임의의 가군 준동형 ${\displaystyle f\colon M\to Q}$ 및 단사 가군 준동형 ${\displaystyle \iota \colon M\hookrightarrow {\tilde {M}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \iota =f}$인 가군 준동형 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}\to Q}$가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

  ${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &M&\to &{\tilde {M}}\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}}$

• (베어 조건 영어: Baer’s criterion) 임의의 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq R}$ 및 가군 준동형 ${\displaystyle f\colon I\to Q}$에 대하여, ${\displaystyle {\tilde {f}}|_{I}=f}$인 가군 준동형 ${\displaystyle {\tilde {F}}\colon R\to Q}$가 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &I&\to &R\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}}$

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 단사 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

임의의 왼쪽 가군들의 집합 ${\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}}$에 대하여, 다음이 동치이다.

• 직접곱 ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$이 단사 왼쪽 가군이다.
• 모든 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여 ${\displaystyle M_{i}}$가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem에 따르면, 임의의 환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[1]:80–81, Theorem 3.46}

• ${\displaystyle R}$는 왼쪽 뇌터 환이다.
• ${\displaystyle R}$의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다.

데데킨트 정역 ${\displaystyle D}$ 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 ${\displaystyle D}$에 대하여, ${\displaystyle D}$ 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 ${\displaystyle D}$ 위의 소 아이디얼들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D}$에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

• 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq (0)}$일 경우: ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$
• 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(0)}$일 경우: 분수체 ${\displaystyle R_{(0)}=\operatorname {Frac} R}$

여기서 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$는 ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {p}}}$에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} D=R_{(0)}}$는 ${\displaystyle D}$의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 ${\displaystyle (0)\subset D}$에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

• 유리수체의 덧셈군 ${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} D}$
• 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, 프뤼퍼 군 ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} _{(p)}/\mathbb {Z} }$

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, ${\displaystyle R}$ 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 ${\displaystyle R}$ 위의 소 아이디얼들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D}$에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$의 단사 폐포(영어: injective hull, ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$의 단사 폐포는 표준적으로 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-가군을 이루며, ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$의 ${\displaystyle R}$-가군으로서의 단사 폐포는 ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$의 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이라고 한다.

임의의 정역 ${\displaystyle R}$ 위에서, ${\displaystyle R}$를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 ${\displaystyle D}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq D}$에 대하여 (${\displaystyle D\neq {\mathfrak {a}}}$), ${\displaystyle D/{\mathfrak {a}}}$는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

라인홀트 베어(독일어: Reinhold Baer, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다.^[2] 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

• 사영 가군
• 단사 대상
• 나눗셈군
• 단사층

• Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 

• “Injective module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Injective module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Injective module”. 《nLab》 (영어). 
• “Baer's criterion”. 《nLab》 (영어).