고리 공간

호모토피 이론에서 고리 공간(-空間, 영어: loop space)은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다.^[1][2][3] 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다.

점을 가진 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Top} _{\bullet }}(\mathbb {S} ^{1},X)}$이며, ${\displaystyle \Omega X}$로 쓴다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 자유 고리 공간(영어: free loop space)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Top} }(\mathbb {S} ^{1},X)}$이며, ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$로 쓴다.

위상군 ${\displaystyle G}$는 항등원 ${\displaystyle 1\in G}$을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 ${\displaystyle \Omega G}$ 및 자유 고리 공간 ${\displaystyle {\mathcal {L}}G}$는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

${\displaystyle \alpha \beta \colon \theta \mapsto \alpha (\theta )\beta (\theta )}$

이를 각각 고리군(영어: loop group) 및 자유 고리군(영어: free loop group)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {ev} _{0}\colon {\mathcal {L}}G\to G}$

${\displaystyle \operatorname {ev} _{0}\colon \alpha \mapsto \alpha (0)}$

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

${\displaystyle \Omega G=\ker \operatorname {ev} _{0}}$

${\displaystyle M}$이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다.

구체적으로, ${\displaystyle M}$ 위의 고리

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}$

${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$

가운데, 일종의 소볼레프 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},M)}$에 속하는 것들을 생각하자. 즉,

${\displaystyle \int _{[0,1]}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t<\infty }$

인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다.

그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) ${\displaystyle {\mathcal {L}}M}$을 이룬다.^[4] 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간

${\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{\dim M})}$

과 동형이다.

또한, 표준적으로

${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {L}}M\cong {\mathcal {L}}\mathrm {T} M}$

가 된다.

소볼레프 매장 정리(영어: Sobolev embedding theorem)에 의하여, 모든 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}}$ 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.

${\displaystyle M}$이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to M}$

들의 공간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},M)}$에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ,\mathbb {R} ^{\dim M})}$

과 동형이다.

고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다.

${\displaystyle \pi _{k+1}(X)=\pi _{k}(\Omega X)}$

특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.

${\displaystyle [\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]}$

여기서 ${\displaystyle \Sigma X}$는 ${\displaystyle X}$의 축소 현수이며, ${\displaystyle [-,-]}$는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다.

${\displaystyle [X\times \mathbb {S} ^{1},Y]\leftrightarrow [X,{\mathcal {L}}Y]}$

고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산

${\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A_∞-공간을 이룬다.

유한 차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 자유 고리 공간 ${\displaystyle {\mathcal {L}}M}$을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (\exp(2\pi \mathrm {i} t)\cdot \gamma )(s)=\gamma (s+t)}$

이는 벡터장

${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} {\mathcal {L}}M)}$

을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱

${\displaystyle X\lrcorner \colon \Omega ^{\bullet }({\mathcal {L}}M)\to \Omega ^{\bullet -1}({\mathcal {L}}M)}$

이 존재한다.

고리 공간 위에는 천 미분 형식(영어: Chen differential form) 또는 반복 적분(영어: iterated integral)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다.^[5] 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 미분 형식

${\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k}\in \Omega (M)}$

${\displaystyle \deg \alpha _{i}=n_{i}+1}$

일 때, 천 미분 형식

${\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})\in \Omega ^{n_{1}+\dotsb +n_{k}+1}({\mathcal {L}}M)}$

을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})=\int \dotsi \int _{0\leq t_{1}\leq \dotsb \leq t_{k}\leq 1}\mathrm {d} t_{1}\dotsm \mathrm {d} t_{k}(X\lrcorner \operatorname {ev} _{t_{1}}^{*}\alpha _{1})\wedge \dotsb \wedge (X\lrcorner \operatorname {ev} _{t_{k}}^{*}\alpha _{k})}$

여기서

• ${\displaystyle t\in [0,1]}$에 대하여, 값매김 사상 ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}\colon {\mathcal {L}}M\to M}$은 ${\displaystyle \gamma \mapsto \gamma (t)}$이다. ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}^{*}}$은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
• ${\displaystyle \textstyle \int \dotsi \int _{0\leq t_{1}\leq \dotsb \leq t_{k}\leq 1}}$은 ${\displaystyle k}$차원 단체 ${\displaystyle \triangle _{k}}$ 위의 적분이다.

특히, 만약 한 1차 미분 형식 ${\displaystyle A}$만이 주어졌을 때, 이는 함수

${\displaystyle {\mathcal {L}}M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \gamma \mapsto \int _{\gamma }A}$

에 해당한다.

천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.

${\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})\wedge \int (\alpha _{k+1},\dotsc ,\alpha _{k+l})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,l)}(-)^{\sigma }\int (\alpha _{\sigma (1)},\dotsc ,\alpha _{\sigma (k+l)})}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Sh} (k,l)}$은 셔플 순열의 집합이다. 즉, ${\displaystyle \{1,\dotsc ,k+l\}}$의 순열 가운데 ${\displaystyle \sigma (1)\leq \dotsb \leq \sigma (k)}$이며 ${\displaystyle \sigma (k+1)\leq \dotsb \leq \sigma (k+l)}$인 것이다.
• ${\displaystyle (-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}}$는 순열의 홀짝성이다.

천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.^{[5]:Proposition 1.6}

${\displaystyle \mathrm {d} \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})=-\sum _{i=1}^{k}(-)^{n_{1}+\dotsb +n_{i-1}}\int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{i-1},\mathrm {d} \alpha _{i},\alpha _{i+1},\dotsc ,\alpha _{k})-\operatorname {ev} _{0}^{*}\alpha _{1}\wedge \int (\alpha _{k},\dotsc ,\alpha _{k})-(-)^{n_{1}}\int (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2},\alpha _{3},\dotsc ,\alpha _{k})-(-)^{n_{1}+n_{2}}\int (\alpha _{1},\alpha _{2}\wedge \alpha _{3},\alpha _{4},\dotsc ,\alpha _{k})-\dotsb -(-)^{n_{1}+\dotsb +n_{k-1}}\left(\int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k_{1}})\right)\wedge \operatorname {ev} _{1}^{*}\alpha _{k}}$

• “Loop space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Path space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Loop space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Path space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “May-Thomason Uniqueness Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Loop space”. 《nLab》 (영어). 
• “Free loop space”. 《nLab》 (영어). 
• “Path space”. 《nLab》 (영어). 
• “Smooth loop space”. 《nLab》 (영어). 
• “Loop space object”. 《nLab》 (영어). 
• “Free loop space object”. 《nLab》 (영어). 
• “Path space object”. 《nLab》 (영어). 
• “Derived loop space”. 《nLab》 (영어). 
• “Formal loop space”. 《nLab》 (영어). 
• “Delooping”. 《nLab》 (영어). 

• 기본군
• 아핀 리 대수
• 현수 (위상수학)