가역행렬

선형대수학에서 가역 행렬(可逆行列, 영어: invertible matrix) 또는 정칙 행렬(正則行列, 영어: regular matrix) 또는 비특이 행렬(非特異行列, 영어: non-singular matrix)은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, 영어: inverse matrix)이라고 한다.

체 ${\displaystyle K}$ 위에서 정의된 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A,B}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 이 조건이 성립할 경우 ${\displaystyle B}$를 ${\displaystyle A}$의 역행렬이라고 하며, ${\displaystyle B}$를 ${\displaystyle A^{-1}}$와 같이 표기한다.

• ${\displaystyle AB=I_{n}}$
• ${\displaystyle BA=I_{n}}$
• ${\displaystyle AB=BA=I_{n}}$

체 ${\displaystyle K}$ 위에서 정의된 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle A}$를 가역 행렬이라고 한다.

• 역행렬을 갖는다.
• 유일한 역행렬을 갖는다.
• 유한 개의 기본 행렬의 곱이다.
• 단위 행렬과 행동치이다.
• 단위 행렬과 열동치이다.
• 단위 행렬과 동치이다.
• 방정식 ${\displaystyle Ax=0}$의 해는 ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$뿐이다. 즉 ${\displaystyle \ker A=\left\{\mathbf {0} \right\}}$이다.
• 방정식 ${\displaystyle Ax=b}$의 해는 ${\displaystyle b}$의 값과 무관하게 항상 유일하다.
• ${\displaystyle A}$의 열이 ${\displaystyle K^{n}}$의 기저를 이룬다.
• ${\displaystyle \det A\neq 0}$ (여기서 ${\displaystyle \det }$는 행렬식이다.)
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=n}$ (여기서 ${\displaystyle \operatorname {rank} }$는 계수이다.)
• ${\displaystyle \operatorname {null} A=0}$ (여기서 ${\displaystyle \operatorname {null} A:=\dim {\ker A}}$이다.)
• 0을 고윳값으로 가지지 않는다.

체 ${\displaystyle K}$ 위에서 정의된 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 가역 행렬이다.
• ${\displaystyle A^{\operatorname {T} }}$는 가역 행렬이다.
• ${\displaystyle AA^{\operatorname {T} }}$는 가역 행렬이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위에서 정의된 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A,B}$에 및 스칼라 ${\displaystyle k\in K}$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}$
• ${\displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}$
• ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$

즉, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 가역 행렬의 집합은 군을 이루며, 이를 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$이라고 한다. 또한, 역행렬은 일반선형군의 자기 반대 동형을 정의한다.

가우스 소거법은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘이다. LU 분해를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는 ${\displaystyle mn\times mn}$ 행렬을 ${\displaystyle n\times n}$을 원소로 갖는 ${\displaystyle m\times m}$ 행렬로 나누어 재귀적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.

행렬의 공통인자로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않을수있다) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.

${\displaystyle A^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{j1}\\C_{12}&\ddots &&C_{j2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\C_{1i}&\cdots &\cdots &C_{ji}\\\end{pmatrix}}}$
여기서 ${\displaystyle i+j}$가 홀수일 때 이고(${\displaystyle C_{ji}=-M_{ji}}$) ${\displaystyle i+j}$가 짝수일 때 (${\displaystyle C_{ji}=M_{ji}}$)이다. 즉,${\displaystyle C_{ji}=(-1)^{i+j}M_{ji}}$이다.

여기서 ${\displaystyle |A|}$는 ${\displaystyle A}$의 행렬식을 가리키고 ${\displaystyle C_{ij}}$는 행렬의 공통인자,${\displaystyle M_{ij}}$는 행렬의 소행렬식, ${\displaystyle A^{T}}$는 ${\displaystyle A}$의 전치행렬을 가리킨다.

수치 해석에서 대부분의 경우 선형 시스템을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.

위의 공통인자 방정식에서 ${\displaystyle n}$이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}$

2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

위의 공통인자 방정식에서 ${\displaystyle n}$이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&-(bi-ch)&bf-ce\\-(di-fg)&ai-cg&-(af-cd)\\dh-eg&-(ah-bg)&ae-bd\end{bmatrix}}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle |A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=-d(bi-ch)+e(ai-cg)-f(ah-bg)=g(bf-ce)-h(af-cd)+i(ae-bd)\ }$

다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇 개의 작은 블록 행렬로 나누어 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A,B,C,D}$는 행렬의 임의의 작은 블록이다. 이 방법은 ${\displaystyle A}$가 대각행렬이고 ${\displaystyle A}$의 슈어 보수행렬 ${\displaystyle (D-CA^{-1}B)}$이 작은 크기일 때 특히 유용하다. 두 개의 행렬에 대한 역행렬만 계산하면 되기 때문이다. 이 방법은 행렬을 더 빠르게 곱하는 슈트라센 알고리즘의 개발자 포커 슈트라센이 발견했다.

행렬 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle t}$라는 변수에 따라 변한다고 하자. 이때 ${\displaystyle A}$의 역행렬의 도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-A^{-1}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}A^{-1}.}$

행렬${\displaystyle A}$ 와 ${\displaystyle B}$에서,

${\displaystyle {{A} \over {B}}=A\cdot B^{-1}}$ 이고, ${\displaystyle A\cdot B^{-1}\neq B^{-1}\cdot A}$이다.

${\displaystyle {{A} \over {B^{-1}}}=A\cdot B}$이다.

스칼라 행렬${\displaystyle k}$는,

${\displaystyle {{A} \over {k}}=A\cdot k^{-1}}$ 이고, ${\displaystyle A\cdot k^{-1}=k^{-1}\cdot A}$이다.

대각화행렬에서는

임의의 행렬 A를 예약하고 고윳값 행렬 P를 조사하고 P의 역행렬 P^-1를 통해서,

${\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}}$

대각화 행렬 A^D를 얻을수있다. 여기서,

${\displaystyle AP={{A^{D}} \over {P^{-1}}}}$

${\displaystyle AP={P}{A^{D}}}$

처럼 대각화행렬에서는 역행렬의 나눗셈 성질을 갖는다.

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