구간

수학에서 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 갖춘 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라

• 열린구간(-區間영어: open interval) 또는 개구간(開區間)
• 닫힌구간(-區間영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間)
• 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間)

의 세 가지로 나뉜다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in X}$에 대하여,

${\displaystyle a\lesssim b\not \lesssim a}$

를 ${\displaystyle a<b}$로 표기하자.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$^{[1]:11, Definition 11}의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in X}$를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 열린구간과 닫힌구간 및 두 개의 반열린구간은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 ${\displaystyle a<b}$ 또는 ${\displaystyle a\lesssim b}$를 요구하기도 한다).

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 원소 ${\displaystyle a\in X}$를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 원소 ${\displaystyle b\in X}$를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$

왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 ${\displaystyle X}$ 전체이다.

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합

${\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle \forall x\in X\colon -\infty <x<\infty }$

의 두 원소를 두 끝점으로 하는 ${\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수를 끝점으로 한다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle C\subseteq X}$가 다음 조건을 만족시키면, 순서 볼록 집합(영어: order-convex set)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle a,b\in C}$에 대하여, ${\displaystyle [a,b]\subseteq C}$

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle Y}$에 포함되는 ${\displaystyle X}$의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 ${\displaystyle Y}$의 순서 볼록 성분(영어: order-convex component)이라고 한다.^{[2]:Definition 5.1[3]:727} 초른 보조정리에 따라, ${\displaystyle Y}$에 포함되는 ${\displaystyle X}$의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 ${\displaystyle Y}$의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 ${\displaystyle X}$가 전순서 집합이라면, ${\displaystyle Y}$의 순서 볼록 성분들은 ${\displaystyle Y}$를 분할한다. 즉, ${\displaystyle C\subseteq Y}$인 순서 볼록 집합 ${\displaystyle C\subseteq X}$를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}}$

모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 부분 집합 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle I}$는 구간이다.
• ${\displaystyle I}$는 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle I}$는 순서 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle I}$는 연결 공간이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle I}$는 경로 연결 공간이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle I}$는 호 연결 공간이다.

보다 일반적으로, 선형 연속체 ${\displaystyle (L,\leq )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq L}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[4]:153, Theorem 24.1}

• ${\displaystyle S}$는 구간이다.
• ${\displaystyle S}$는 순서 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle S=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle L}$에 순서 위상을 가했을 때 ${\displaystyle S}$는 연결 공간이다.

실수 구간의 폐포는 다음과 같다.^{[5]:214, Lemma 9.1.12}

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty )}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )}$

격자 ${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq L}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle S}$는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle S=I\cap F}$인 순서 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq L}$과 필터 ${\displaystyle F\subseteq L}$이 존재한다.

단위 구간

${\displaystyle [0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}}$

은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간

${\displaystyle (0,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\}}$

은 모든 양의 실수들의 집합이다.

유리수의 전순서 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 부분 집합

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}\subseteq \mathbb {Q} }$

는 순서 볼록 집합이지만, (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 무리수이므로) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 구간이 아니다.

• 호 (기하학)
• 부등식
• 선분
• 구간의 분할

• “Interval and segment”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interval”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Interval”. 《nLab》 (영어).