数字根

特定の数の数字根の特殊例として、次のようなものがある。

• 0 の数字根は 0 である。
• 一般に正の整数値 n の数字根は n を 9 で割った余りに等しい。ただし、余りが 0 の場合は、数字根は 9 に等しい。
• 0 以外の 9 の倍数の数字根は 9 である。
• 0 以外の 3, 6 の倍数の数字根は 3, 6, 9 のいずれかである。
• 平方数の数字根は 1, 4, 7, 9 のいずれかである。
• 立方数の数字根は 1, 8, 9 のいずれかである。
• 3 以外の素数の数字根は 1, 2, 4, 5, 7, 8 のいずれかである。
• 2の冪の数字根は 1, 2, 4, 5, 7, 8 のいずれかである。
• 6 以外の偶数の完全数の数字根は 1 である。
• 三角数の数字根は 1, 3, 6, 9 のいずれかである。
• 6 以上の階乗の数字根は 9 である。

以下の表は、十進数の九九の表から数字根を求めたものである。最初の行と列はかける数である。例えば、2x5 = 1 となるが、これは積である 10 の数字根が 1 であることを意味する。

この表には対称性のある面白い数字のパターンが表れている。例えば、9 をかけた結果の数字根は常に 9 である。このパターンは、9 の倍数ごとのブロックとして無限に繰り返される。

9 番目の行と列を無視すれば、半群 {J/(9), X} が残る。J/(9) とは、9 を法とする剰余類で分けられた整数の集合であり、X はこの半群上の元の間の抽象乗算を意味する。a と b が {J/(9), X} の元であるとき、aXb は mod (axb, 9) であり、axb は通常の乗算を表す。言い換えれば、次の式の c を求めていることに他ならない。

もちろん、c は axb の数字根であり、(a,b) は共に J と {J/(9), X} の元である^[1]。

${\displaystyle n}$  の各位の和（数字和）を求める関数を ${\displaystyle f(n)}$  とする。${\displaystyle f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb }$  と計算していくと、最終的に定数値に収束する。この定数値（${\displaystyle n}$  の数字根）を求める関数を ${\displaystyle f^{*}(n)}$  とする。

${\displaystyle 1853}$  の数字根は次のように求められる。

したがって、${\displaystyle f^{*}(1853)=8}$  となる。

${\displaystyle f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb }$  が最終的に定数となることの証明は以下の通り。

${\displaystyle x=d_{1}+10d_{2}+\dotsb +10^{n-1}d_{n}}$  とし、${\displaystyle 0\leq d_{i}\in \mathbb {Z} <10}$  とする（全ての ${\displaystyle i}$  について ${\displaystyle d_{i}}$  は 0 以上、10 未満の整数である）。すると、${\displaystyle f(x)=d_{1}+d_{2}+\dotsb +d_{n}}$  となる。つまり ${\displaystyle d_{2},d_{3},\dotsb ,d_{n}=0}$  でない限り ${\displaystyle f(x)<x}$  が成り立ち、${\displaystyle d_{2},d_{3},\dotsb ,d_{n}=0}$  であるということは、${\displaystyle x}$  が 1 桁であることを意味する。従って ${\displaystyle f(x)}$  を繰り返し適用していくと ${\displaystyle x}$  は小さくなっていき、最終的に 1 桁の数になり、その時点で ${\displaystyle f(d_{1})=d_{1}}$  なので定数となる。

合同式による定義は次の通りである。

${\displaystyle \operatorname {dr} (n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\9&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {9}},\\n\ {\rm {mod}}\ 9&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {9}}.\end{cases}}}$ 

または

${\displaystyle {\mbox{dr}}(n)=1\ +\ ((n-1)\ {\rm {mod}}\ 9).\ }$ 

基数 b が異なる位取り記数法の数字根では、上記の式の 9 を b - 1 に置き換えればよい。

• 九去法
• 数字和

• Deskins, W. E. (1996) [1964], Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics (Unabridged ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-68888-6。

• Weisstein, Eric W. "Digital Root". mathworld.wolfram.com (英語).
• pattern of digital root using MS Excel