九九

足し算九九（加算九九）、引き算九九（減算九九）は江戸時代には寺子屋などで教えられていた。

明治期の教師用の指導書「師範学校／改正小学教授方法」^[1]においても、「九九図」として表が掲載されているものが確認できる。

足し算九九（加算九九）の呼び方は

「一 に 一加（タス）の二」「二 に 九加（タス）の十一」

と記されている。 一方、引き算九九（減算九九）の呼び方は

「二 に 一減（ゲン）の一」「十 に 二減（ゲン）の八」

と記されている。

掛け算九九は、十進法の1から9までの自然数同士の掛け算を語呂良く暗記する方法である。1桁と2桁、2桁同士の掛け算を暗記する方法も含めて九九と呼ぶこともあり、この場合は「二桁の九九」という。ヨーロッパなどでは十二進法の名残で12×12までの乗算表を学んでいた。

日本の学習指導要領では小学校二年生の算数の授業で、1位数同士の乗法を学習する^[4]ことから、1位数同士の乗法を確実に習得する方法として活用されることが多い。

積が一桁のときは「が」をつける。すなわち「が」はゼロを意味し^[5]、十の位の空位を意識させるためにも役立つ。特に珠算において、「が」があるおかげで桁取りを間違えることがなくなる^[5]。

ドイツ語圏では大九九 (großes Einmaleins) と呼ばれる20×20までの掛け算をまとめたものもある。インドでは二桁の九九が学ばれているが、地域や学校によって差があり、最低でも1×1～20×20、最高では1×1～99×99まで学ぶ。インドの影響を受け、中国や韓国でも二桁の九九(1×1～20×20)はブームとなった。^[要出典]

英語圏では成年者も「掛け算九九を完全に言えない」ことが多く、アメリカの大学生・大学院生の38％が「九九を完全には覚えていない」という調査もある。これには英語には1種類の基数詞しかないことが大きく関係しており、語呂合わせができないという点で九九の習得を容易でなくしているという見解がある^[6]。

フランスには、俗に言う「フランス式指電卓」という掛け算の計算方法がある。両手の指で指を折っていって計算していく方法で、ドラマ「古畑任三郎」のスペシャル「笑うカンガルー」にて説明されている。同じく、インドにも「インド式棒算」という計算方法があり、棒を斜めに並行に引いて、交点の数を数えるだけで掛け算ができるものである。^[要出典]

日本には大和時代に百済から伝えられ、平安時代には貴族の教養の一つとされていた^[7]という説があったが、奈良市の平城宮跡で出土した「九九」を記した8世紀の木簡に、中国の数学書「孫子算経」と同じ「如」の文字^[8]が書かれていることから、九九は中国から伝来したと考えられると、奈良文化財研究所が2010年12月3日に発表した^[9]。また、京丹後市にある奈良時代の鶴尾遺跡で、九九が表裏に書かれた木簡１点が出土したと、京都府埋蔵文化財調査研究センターが2022年7月27日に発表した^[10]。

8世紀に成立した万葉集には、

• 情（こころ）八十一［グク］
• 二八十一［ニクク］あらなくに
• 八十一里［ククリ］つつ
• 十六［シシ］
• いさ二五［トヲ］聞こせ
• かく二二［シ］知らさむ
• 君は聞こし二々［シ］
• 生けりともな重二［シ］
• 三五月［十五月→望月］

など、九九を用いた戯書が多数見られる^[11]。

もともとは「九九」から唱え始めるのが普通であったが、のちに「一一」から唱えるようになった。九九と呼ばれるのはもともとは九九から唱えていた名残りである。現在では一の段（一一から一九まで）、二の段（二一から二九まで）、…、九の段（九一から九九まで）のように各段に分けて唱えることもしばしば行われる。かつては半九九と呼ばれる半分だけの九九が用いられていた。これは割り算九九と混同しないためにであったと考えられる。割り算九九が廃れるにつれ全九九が主流となった。

掛け算九九の表と「数の大きさ」

掛け算九九の表（全九九）の横幅と高さを「掛ける数」に対応させると、「得られる数の大きさ」と「表のマスの大きさ」が対応した形式の表となる。教育現場等において、九九の指導の際にタイル等を用いて掛け算九九の答えをタイルの個数を基に指導するのが、その一例である。

1から20まで(暗記法ではないが、参考のため記載する)

掛け算九九表には複数の対称性がある。

• 一例では、掛け算の交換法則により、同じ数同士を掛け合わせる対角線で、線対称となっている。
• また、足して10となる数同士を掛け合わせる対角線でも、完全ではないが対称性が存在する。
• ((10-a)×(10-b)=(10-a-b)×10+a×b)

割り算九九には八算、見一、唐目十六割、四十三割、四十四割などがある。割り声（わりごえ）、割れ声（われせい）とも呼ばれる。

掛け算九九が珠算と無関係に有用であるのに対し、割り算九九はそろばんの珠の動きとの関連が大きい。元の頃、中国で発明され、その後日本にもたらされたものである。日本では毛利重能の割算書などによって広まった。そろばんの普及と割り算九九の普及は大きく関連している。江戸時代には帰除法のほうが一般的であった（亀井算という商除法も行われていた）。

掛け算九九は被乗数の値を段の名前にしているが、割り算九九は被除数ではなく除数の方を段の名前にしており、また、掛け算九九はどの段も乗数が1から9までの9通りの式があるのに対し、割り算九九はnの段(1≦n≦9)は、10m÷n(1≦m＜n)及びn÷nのn通りの式しかない(但し2nが1桁の場合は2n÷nを表すものもあり、3nや4nが1桁の場合も同様である)。ルールは以下の通りである。

• 10の倍数を1桁の数で割るタイプは必ず漢字5文字で表される。
  • 割り切れる場合
    • (除数の値)(被除数の10の位の値)(天または倍)(作)(商の値)
      • 3文字目は、5の段の場合は倍でそれ以外は天となる
      • 例:二一天作五、五一倍作二
    • 読みは、漢数字はそのまま読み、天作は「てんさくの」、倍作は「ばいさくの」と読む
    • そろばんの操作法としては、被除数の計算桁を商の値に変える
  • 割り切れず、被除数の10の位と商が一致する場合
    • (除数の値)(被除数の10の位の値)(下)(加)(余りの値)
      • 例:六一下加四
    • 読みは、漢数字はそのまま読み、下加は「かか」と読む
    • そろばんの操作法としては、被除数の計算桁は変えずそのまま、下の桁に余りの値を加える
  • 割り切れず、被除数の10の位と商が一致しない場合
    • (除数の値)(被除数の10の位の値)(商の値)(十)(余りの値)
      • 例:三一三十一
    • 読みは、一から八(九は存在しない)までの漢数字はそのまま読み、十は「じゅうの」と読む
    • そろばんの操作法としては、被除数の計算桁を商の値に変えた上で、下の桁に余りの値を加える
  • 「下加○」「△十×」のように余りが出るタイプの割り算九九では、余りの値を加えた桁に一時的に10以上溜まることが起こり得る。江戸時代までの五玉2つ、一玉5つのタイプのそろばんでは、このような場合に2つ目の五玉や5つ目の一玉を使ったりしたが、明治から昭和戦前までの五玉1つ、一玉5つのタイプのものや、現代の五玉1つ、一玉4つのタイプのもので無理やり行う場合には、1桁に入りきらない分あるいは加えるべき数を記憶するなどの方法が必要となる。
• 1桁の数を1桁の数で割るタイプは割り切れるものしか存在せず、漢字4文字で次のように表される
  • (被除数の値)(進)(商の値)(十)
    • 例:二進一十、四進二十
  • 読みは、漢数字はそのまま読み、進は「しんの」と読む
  • そろばんの操作法としては、被除数の値を払って上の桁に商の値を置く
  • 商が1になる式以外は最初の漢数字と段が一致しないので注意が必要である
    • 例えば「四進二十」は二の段であって四の段ではない

珠算による割り算の方法

珠算による割り算の方法は、掛け算九九を使う商除法と、割り算九九を使う帰除法がある。そろばん教室で教えるのは、昭和の頃からであろうか商除法が主となり、帰除法（すなわち割り算九九）はほとんど使わなくなってしまった。電卓の出現前、学校教育で珠算をある程度重視した時期であっても、割り算九九は教えていない。その結果、今ほとんどの人は割り算九九の存在さえも知らない。帰除法の利点としては機械的に素早く計算できることが挙げられる。欠点としては新たに割り算九九を覚えなければならないことが挙げられる。

八算

八算という呼び名は除数が2~9までの8通りあることに由来する。中国では除数が1の場合も含めて9通りということで九帰法と呼ぶが、日本では1で割る場合は値が変わらないということで一の段を除外して八算とした。もっとも、この九九は除数が1桁の場合だけでなく、2桁以上の数で割る場合も、例えば21や234など2で始まる2桁以上の数で割る場合は二の段を用い、3で始まる数で割る場合は三の段を用いるといった具合で、1(あるいは10、100など)そのもので割る場合は値(数字の配列)が変わらないが、1で始まる2桁以上の数で割る場合は値(数字の配列)が変わるのでここで一の段が生きてくるのである。なお2桁以上の数で割る場合は八算(九帰法)の九九に加えて後述の見一の九九と掛け算九九を併用する必要がある。

九九と同様に二一天作五で八算全体を表すこともある。一進をいっちん、一十をいんじゅと読む場合もある。「逢二進一十」などのように、逢の字が書かれることもあるが読まれない。倍作（ばいさく、ばいそう）を倍とする場合もある。

五の段は「五一加一」（ごいちかいち）、「五二加二」（ごにかに）、「五三加三」（ごさんかさん）、「五四加四」（ごしかし）と呼ばれていたこともある（元和8年版「割算書」など）。

下の表で上段は表記、中段は読み、下段は表している計算式である。

二桁以上の割り算の声である。珠算における二桁以上の割り算では特殊な操作が必要となるため、操作中に割られる数の頭と割る数が同じになった場合にこの割声にならい計算する。これを撞除法と言い、また歌の頭の文字から通称で見一と呼ばれる。

これは上の撞除をした後に操作につまった時（珠算の除法では引き算を行うので、下桁が引けなくなる）に用いる声である。

16で割る場合の割り算九九である。小一斤とも呼ばれる。

43で割る場合の割り算九九である。銀は四十三匁が一単位であったことによる。

44で割る場合の割り算九九である。金は四十四匁が一単位であったことによる。

掛け算九九のうち掛ける数（乗数）と掛けられる数（被乗数）が同じものを平方九九という。掛け算九九の中に含まれているので、あらためて覚える必要はない。

三乗の九九を立方九九という。通常の掛け算九九と同様に唱えて覚える。開立などに用いる。

日本では、掛け算九九の学習用として複数の楽曲が制作されている。これらの楽曲を九九の歌（くくのうた）または九九ソング（くくソング）と総称する。

これ以外にも「九九の歌」は多数制作されている。

• 1986年^[14]に、RCAビクターから、女性歌手の「MOKO」が歌う「99のうた」（「本家!かけ算「99のうた」」）がアナログレコードとカセットテープで発売された。作曲は小倉靖。1990年にはシングルCDとして発売され、2010年にはMOKOが新たに録音した音源が音楽配信で発売されるなど^[15]、ロングセラーの作品になっている。日本コロムビアからは、山野さと子によるカバー版が発売されている。

テレビ・ラジオ番組からの企画作品

• アニメ『ドラえもん』第2作第1期からの企画楽曲として、ドラえもん役の大山のぶ代が歌う「ドラえもん九九のうた」（歌というより全編台詞に近い）、『ドラえもん』第2作第2期からの企画楽曲として、ドラえもん役の水田わさびが歌う「newドラえもん九九のうた」がある。
• 1990年、『仮面ライダーBLACK RX』『魔法使いサリー』からの企画楽曲として、「仮面ライダー99のうた」（歌：水木一郎）と「魔法使いサリー99のうた」（歌：山本百合子）が両A面シングルとしてCDとカセットテープで発売された。
• 1999年、ABCラジオ『おはようパーソナリティ道上洋三です』からの企画楽曲として、秋吉英美が歌う「英美ちゃんのレッツ・ゴー!九九」がシングルCDで発売された。

学習教材の付録作品

• 『科学と学習』では、『2年の学習』の教材にオリジナルの「九九の歌」のカセットテープが付属していた。
• 『進研ゼミ小学講座』では、『チャレンジ2年生』の毎年8月号に、コラショとキッズが歌うオリジナルの「九九ソング」のCD（2005年度以前は8cm CD、2006年度以後は12cm CD。さらに以前はカセットテープだった）が付属する。

• 年齢や時間を表すのに九九を使う場合がある。例）三五（＝十五歳）、二八（十六歳）、四六時中（二四時中、一日中）など。

• 菅原 邦雄 (2008). “そろばん--割り算の九九から広がった日本の数学”. 数学文化 (日本評論社) (10): 100-103. 
• 掛け算表をマスター