素因数

「素因子」はこの項目へ転送されています。環論における素因子については「素因子 (環論)」を、代数幾何学における素因子については「因子 (代数幾何学)」をご覧ください。

素因数（そいんすう、英: prime factor）とは、数学における自然数の約数になる素数のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解という。例えば 60 は 2²×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また 7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子（そいんし）、素因数分解のことを素因子分解ということもある。

2つの自然数が互いに素であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは同値である。なお 1 は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての（1 自身を含めた）自然数と互いに素である。

自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は算術の基本定理と呼ばれている。

自然数 n の相異なる素因数の個数を与える関数を ω(n) と表記し、n の重複も含めた素因数の総数を与える関数を Ω(n) と表記する。n が

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dotsm p_{k}^{\alpha _{k}}}$

（ただし p₁, p₂, ..., p_k は相異なる素数、α₁, ..., α_k は 1 以上の整数） と素因数分解されるとき、

${\displaystyle \omega (n)=k,}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=\alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{k}}$

である。例えば、60 = 2²・3・5 であるから、ω(60) = 3, Ω(60) = 2 + 1 + 1 = 4 である。

素因数は 2 以上であるから

${\displaystyle \Omega (n)\leq \log n/\log 2}$

が任意の n に対して成り立ち、等号はちょうど n が2の冪乗であるときに成り立つ。

また、ω(n) の増加の割合は以下の式で表される。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\omega (n)\log \log n}{\log n}}=1.}$

より厳密には、以下の式が成り立つ^[1]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (n)&\leq 1.38402\,{\frac {\log n}{\log \log n}}&(n\geq 3),\\\omega (n)&\leq {\frac {\log n}{\log \log n}}+1.45743\,{\frac {\log n}{(\log \log n)^{2}}}&(n\geq 3),\\\omega (n)&\leq {\frac {\log n}{\log \log n-1.1714}}&(n\geq 26).\end{aligned}}}$

自然数における具体的な ω(n) の値についてはオンライン整数列大辞典の数列 A001221を、 Ω(n) の値はオンライン整数列大辞典の数列 A001222を参照。

最大素因数（さいだいそいんすう、英: largest prime factor）とは、その数における最大の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最大素因数となる。

最小素因数（さいしょうそいんすう、英: smallest prime factor）とは、その数における最小の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最小素因数となる。

• スミス数とは、合成数であって、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。
• ルース＝アーロン・ペアとは、連続する自然数の組であって、それぞれの素因数の和が互いに等しくなる2つの数の組のことである。

• 2以上の自然数における素因数の和は 2, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, … である。(オンライン整数列大辞典の数列 A008472)
  • 完全数における素因数の和は 5, 9, 33, 129, 8193, … である。(オンライン整数列大辞典の数列 A239546)
• 2以上の自然数における素因数の積は 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, … である。(オンライン整数列大辞典の数列 A007947)
  • 完全数における素因数の積は 6, 14, 62, 254, 16382, … である。これはメルセンヌ素数の2倍の数である。(オンライン整数列大辞典の数列 A139257)

1. ^ Robin 1983.

• Robin, Guy (1983). “Estimation de la fonction de Tchebychef θ sur le k-ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction ω(n) nombre de diviseurs premiers de n”. Acta Arith. 42: 367–389. 

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• 算術の基本定理

表 話 編 歴 被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解 約数 単約数 約数関数 素因数 算術の基本定理
因数分解による分類	素数 合成数 半素数 矩形数 楔数 平方因子をもたない整数 多冪数 累乗数 アキレス数 滑らかな数（英語版） ハミング数（英語版） 粗い数（英語版） 異常数（英語版）
約数和による分類	完全数 概完全数 準完全数 倍積完全数 Hemiperfect number（英語版） ハイパー完全数 超完全数 単完全数（英語版） 擬似完全数 プラクティカル数 エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数 原始過剰数（英語版） 高度過剰数 超過剰数 巨大過剰数 高度合成数 優高度合成数（英語版） 不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版） 友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数 婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版） ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版） スミス数
その他	Arithmetic number（英語版） 不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版） サブライム数 調和数 デカルト数（英語版） タウ数 超完全数