二次体

二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。

• 任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
• その整数環がノルムユークリッド整域となる二次体 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
• その整数環が一意分解整域となる虚二次体 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。
• 任意の二次体 K に対して、有理素数^[1] p は、以下のいずれかを満たす。

1. ${\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2}}$ は、相異なる K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で完全分解であるという。)
2. ${\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}^{2}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ は、K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で不分解であるという。)
3. ${\displaystyle (p)}$ は、K の素イデアルである。　(このとき、p は、K で不分岐であるという。)

• 二次体 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ の判別式を D としたとき、

${\displaystyle D={\begin{cases}d&(d\equiv 1\mod 4),\\4d&(d\equiv 2,3\mod 4).\end{cases}}}$

従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、${\displaystyle \scriptstyle \{1,\ (1+{\sqrt {d}})/2\}}$、それ以外のときは、${\displaystyle \scriptstyle \{1,\ {\sqrt {d}}\}}$ が、${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ の整基底となる。

• E_K を、二次体 ${\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ の単数群としたとき、

1. d = − 1 のとき：E_K = { ± 1, ± i } 。
2. d = −3 のとき：E_K = { ± 1, ± ω, ± ω² } 　(ω = (− 1 + √− 3)/2) 。
3. d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき：E_K = { ± 1 } 。
4. d > 0 のとき：${\displaystyle \scriptstyle E_{K}=\{\pm \varepsilon _{0}^{n}|n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}}$ 　(ε₀ は基本単数)。

• D を、二次体 ${\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ の判別式とし、自然数 x^*, y^* を、

x² − Dy² = ± 4^[2][3]の最小の有理整数解としたとき、(x^* + y^*√D)/2 は、K の基本単数である。

${\displaystyle \scriptstyle d\leq 14}$ に対する基本単数

d	2	3	5	6	7	10	11	13	14
基本単数	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$	${\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 8+3{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {10}}}$	${\displaystyle 10+3{\sqrt {11}}}$	${\displaystyle (3+{\sqrt {13}})/2}$	${\displaystyle 15+4{\sqrt {14}}}$

• 任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 ${\displaystyle \scriptstyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ 。ここで、${\displaystyle \zeta _{n}}$ は、1 の原始 n 乗根である^[4]。

特に、n = 2^q (q ≥ 3) とすれば、円分体 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ には、${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})}$ が含まれる。

• 上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。

二次体と初等整数論との関係を述べる。

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ をルジャンドル記号とすると、次が成立する。

• 平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (p)}$ は、${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})}$ 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

• このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。

有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、 二次体 ${\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ の(代数体としての)類数を、h_K とすると、H(D) = h_K である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。

二次体 K の判別式を D とし、χ を ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }}$ に対するクロネッカーの指標^[5]とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K の類数 h_K は

${\displaystyle h_{K}={\frac {1}{\kappa }}L(1,\chi )}$

で与えられる。ただし、κ は、

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}{\frac {2\log \varepsilon _{0}}{\sqrt {D}}}&(D>0),\\{\frac {2\pi }{w{\sqrt {-D}}}}&(D<0),\end{cases}}}$

で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε₀ は、K の基本単数とする。

さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。

• K が実二次体のとき

${\displaystyle h_{K}=-{\frac {1}{2\log \varepsilon _{0}}}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)\log \sin {\frac {a\pi }{d}}}$.

• K が虚二次体のとき

${\displaystyle h_{K}=-{\frac {w}{2d}}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)a}$.

ただし、ε₀ は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。

これらの式を総称してディリクレの類数公式^[6]という。

類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の ${\displaystyle s=1}$ での留数で表現するものも知られている。

${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。

${\displaystyle \kappa h_{K}=\operatorname {Res} _{s=1}\zeta _{K}(s)}$。

ただし、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。

ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。 ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。

1. K を二次体とし、D_K, h_K を K の判別式、類数としたとき、${\displaystyle \scriptstyle |D_{K}|\to \infty }$ ならば、${\displaystyle \scriptstyle h_{K}\to \infty }$ である。
2. 類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
3. 与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。
4. 類数が 1 である虚二次体 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ は、d が以下の場合に限る。

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

予想 1 について。

予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。

${\displaystyle \lim _{|D_{K}|\to \infty }{\frac {\log h_{K}}{\log {\sqrt {|D_{K}|}}}}=1}$。

予想 2 について。

現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。

予想 3 について。

1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。

予想 4 について。

この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)

その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。

1. ^ 有理整数である素数のこと。
2. ^ x² − Dy² = − 4 に有理整数解を持たない場合に限り、x^*, y^* を x² − Dy² = 4 の解として選ぶ。
3. ^ 平方因子を持たない0, 1 以外の整数 a および、c = ± 1, ± 4 に対して、x² − ay² = c の形の不定方程式をペル方程式という。
4. ^ n として、K の判別式の絶対値とすると、このことが成立する。
5. ^ ${\displaystyle \scriptstyle \left({\frac {\cdot }{D}}\right)}$ をクロネッカーの記号としたとき、${\displaystyle \scriptstyle \chi (n)=\left({\frac {n}{D}}\right)}$ で与えられるディリクレ指標のことを、クロネッカーの指標という。
6. ^ L関数を用いない式に対して、ディリクレの類数公式ということもある。

• 河田, 敬義『数論 -古典数論から類体論へ-』岩波書店、東京、1992年。 
• ノイキルヒ, J. 著、足立恒雄(監修)・梅垣敦紀 訳『代数的整数論』シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年。 
• Watkins, M. (2004). “Class numbers of imaginary quadratic fields”. Math. Comp. 73: 907-938. 

• Weisstein, Eric W. "Class Number". mathworld.wolfram.com (英語). (類数が 25 以下の虚二次体のリストアップされている。しかし、d が二次体の判別式であることに注意)
• List of Class Numbers (d < 1000 の虚二次体の類数のリスト)

• 二次形式
• 代数体
• 円分体
• ガロア拡大での素イデアルの分解