Supporto (matematica)

Sia ${\displaystyle X}$  uno spazio topologico, e ${\displaystyle Y}$  uno spazio vettoriale. Sia:

${\displaystyle f:\Omega \subseteq X\to Y}$ 

Si definisce supporto di ${\displaystyle f}$  l'insieme:^[1]

${\displaystyle \operatorname {supp} f:={\overline {\{\mathbf {x} \in \Omega :f(\mathbf {x} )\neq \mathbf {0} \}}}}$ 

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Il supporto di una misura ${\displaystyle \mu }$  su uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$  è la chiusura del sottoinsieme di ${\displaystyle X}$  i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$  uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

${\displaystyle \mathrm {supp} \,\mu :={\overline {\{x\in X\,:\forall N\ni x,\,\mu (N)>0\}}}}$ 

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia ${\displaystyle \mathbf {r} }$  la parametrizzazione di una curva:

${\displaystyle \mathbf {r} :I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},}$ 

allora il suo supporto ${\displaystyle \Gamma }$  è l'immagine di ${\displaystyle \mathbf {r} }$ , cioè l'insieme:

${\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\exists t\in I,\,\mathbf {x} =\mathbf {r} (t)\}=\mathbf {r} (I).}$ 

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva ${\displaystyle \gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]}$  e la curva ${\displaystyle \gamma _{2}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,3\pi ]}$  hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione ${\displaystyle 1/x}$  eccetto per il punto ${\displaystyle x=0}$ . Nello specifico, essa ha la forma:

${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}\mathrm {e} ^{-2\pi ixs}H(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\mathrm {p.v.} {\frac {1}{s}}\right)}$ 

La trasformata possiede quindi un supporto singolare ${\displaystyle \{0\}}$  e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) ${\displaystyle \mathrm {p.v.} 1/s}$  che associa alla funzione di test ${\displaystyle \varphi }$  il valore principale di Cauchy di:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (s)/s\,\mathrm {d} s}$ 

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
• (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
• (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

• Chiusura (topologia)
• Dominio (matematica)
• Funzione a supporto compatto

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