Inclusione (matematica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con $\subseteq$ , è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme $B$ è contenuto o incluso nell'insieme $A$ se, per ogni elemento $x$ , se $x$ appartiene a $B$ allora $x$ appartiene ad $A$ ". In simboli, dati due insiemi $A$ e $B$ , si ha:

Siano $A=\{1,2,3,5,11\}$ e $B=\{1,2,3\}$ , allora $B\subset A$ è un sottoinsieme di $A$ .

B\subseteq A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A.

^[1]

L'insieme $B$ si dice sottoinsieme di $A$ .

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$ ma che esistono elementi di $A$ che non sono elementi di $B$ .

Nel caso in cui tutti gli elementi di $A$ appartengono anche a $B$ si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di $A$ non è compreso nell'insieme $B$ , cioè nel caso dell'inclusione stretta.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è $\subseteq$ , mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è $\subset$ . Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con $\subset$ un sottoinsieme e con $\subsetneq$ un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che $B$ non coincide con $A$ ).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è $\supseteq$ (oppure $\supset$ ) per il sovrainsieme, e $\supset$ (oppure $\supsetneq$ ) per il sovrainsieme proprio.

Proprietà

L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:

A\subseteq A

(riflessività)

B\subseteq A\land A\subseteq B\Rightarrow B=A

(antisimmetria)

C\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A

(transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di $A$ e $B$ :

"

A

è uguale

B

se e solo se

A

è contenuto in

B

e

B

è contenuto in

A

",

cioè:

A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A.

L'insieme vuoto $\varnothing$ è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme $A$ si ha che $\varnothing \subseteq A$ ".

Valgono

B\subset A\Leftrightarrow A\supset B;

B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B.

Se $B\subseteq A$ , allora:

B\cup A=A;

B\cap A=B.

Distinzione fra inclusione ed appartenenza

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

è esatta: $2\in \{1,2,3\}$ - cioè $2$ appartiene all'insieme $\{1,2,3\}$
è errata: $2\subset \{1,2,3\}$ - cioè non si può dire che $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$
è esatta: $\{2\}\subset \{1,2,3\}$ - cioè il singoletto di $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$

Storia

Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.