Scattering di Mie

Lo scattering di Mie è un problema vettoriale, ovvero implica l'uso di tutte le componenti dei campi elettrici (E) e magnetici (H) al fine di tener debitamente conto delle proprietà di polarizzazione della radiazione. In un mezzo di propagazione quale è, ad esempio, l'aria o il "vuoto", dielettrico, trasparente, omogeneo e isotropo, non dissipativo e non dispersivo, in cui sono presenti delle sferette, ossia dei centri diffusori, l'onda incidente, che può essere pensata nella forma di una onda piana, è costituita da campi elettrici e magnetici che soddisfano la seguente equazione delle onde

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +n^{2}k^{2}\mathbf {E} =0}$ 

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {H} +n^{2}k^{2}\mathbf {H} =0}$ 

dove k è il vettore d'onda e n l'indice di rifrazione. Se definiamo il vettore ${\displaystyle \mathbf {M} =\nabla \times (\mathbf {r} \psi )}$ , dove ${\displaystyle \psi }$  è un'arbitraria funzione scalare e r un vettore di posizione (nel nostro caso indica la coordinata radiale), è possibile dimostrare che questo soddisfa l'equazione

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {M} +n^{2}k^{2}\mathbf {M} =\nabla \times (\nabla ^{2}\psi +n^{2}k^{2}\psi )}$ 

ovvero che M soddisfa l'equazione d'onda vettoriale non appena ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +n^{2}k^{2}\psi =0}$  ovvero quando ${\displaystyle \psi }$  soddisfa l'equazione d'onda scalare. Della stessa proprietà gode il vettore N che possiamo definire tramite ${\displaystyle nk\mathbf {N} =\nabla \times \mathbf {M} }$ .

Risolvendo l'equazione delle onde scalare con le opportune condizioni al contorno, è quindi possibile ricavare due campi che soddisfano le equazioni d'onda vettoriali. In particolare, chiamando u e v due soluzioni indipendenti dell'equazione scalare che danno luogo ai campi M_u, N_u, M_v, N_v, si possono identificare i campi elettrico e magnetico tramite

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {M} _{v}+i\mathbf {N} _{u}}$ 

${\displaystyle \mathbf {H} =m(-\mathbf {M} _{u}+i\mathbf {N} _{v})}$ .

dove "i" indica l'unità immaginaria.

È quindi possibile ottenere il campo elettrico e magnetico in funzione dei campi ausiliari introdotti prima quali opportune soluzioni dell'equazione delle onde scalare.

Dato che il sistema ha simmetria sferica, conviene risolvere il problema in coordinate sferiche. Sfruttando il fatto che le onde sferiche costituiscono un insieme di funzioni completo e ortonormale, ossia che qualsiasi altra funzione può essere sviluppata come somma di onde sferiche, l'idea di base alla teoria di Mie è di riscrivere l'onda piana incidente come sovrapposizione di onde sferiche (tramite uno sviluppo in serie) dentro e fuori la sfera e imporre le condizioni al contorno sulla superficie per ottenere i coefficienti dello sviluppo.

In particolare possiamo scrivere che all'interno della sfera

${\displaystyle u=e^{i\omega t}\cos \phi \sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}(-i)^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}P_{n}^{l}(\cos \theta )j_{n}(kr)}$  e

${\displaystyle v=e^{i\omega t}\sin \phi \sum _{n=1}^{\infty }-b_{n}(-i)^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}P_{n}^{l}(\cos \theta )j_{n}(kr)}$ 

dove ${\displaystyle P_{n}^{l}}$  sono le funzioni associate di Legendre e ${\displaystyle j_{n}}$  sono le funzioni di Bessel sferiche di prima specie.

In coordinate sferiche l'equazione d'onda è fattorizzabile e ha soluzioni del tipo

${\displaystyle \psi _{n,l}=\cos l\phi P_{n}^{l}(\cos \theta )z_{n}(mkr)}$  e

${\displaystyle \psi _{n,l}=\sin l\phi P_{n}^{l}(\cos \theta )z_{n}(mkr)}$ 

dove n e l sono dei numeri interi, ${\displaystyle P_{n}^{l}}$  sono polinomi associati di Legendre e ${\displaystyle z_{n}}$  sono le funzioni di Bessel sferiche.

Imponendo le condizioni al contorno sulla superficie della sfera e introducendo il parametro ${\displaystyle x={\frac {2\pi a}{\lambda }}}$  si ottengono i coefficienti di scattering:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{n}={\frac {\psi _{n}^{\prime }(mx)\psi _{n}(x)-m\psi _{n}(mx)\psi _{n}^{\prime }(x)}{\psi _{n}^{\prime }(mx)\zeta _{n}(x)-m\psi _{n}(mx)\zeta ^{\prime }(x)}}\\\\b_{n}={\frac {m\psi _{n}^{\prime }(mx)\psi _{n}(x)-\psi _{n}(mx)\psi _{n}^{\prime }(x)}{m\psi _{n}^{\prime }(mx)\zeta _{n}(x)-\psi _{n}(mx)\zeta ^{\prime }(x)}}\\\end{matrix}}}$ 

dove ${\displaystyle \psi }$  e ${\displaystyle \zeta }$  sono le funzioni di Riccati-Bessel.

La sezione d'urto totale che si ottiene è:

${\displaystyle \Sigma ={\frac {2\pi }{k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left|a_{n}\right|^{2}+\left|b_{n}\right|^{2}\right)}$ .

• Effetto Tyndall
• Scattering Rayleigh

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