Operatore di d'Alembert

L'operatore di d'Alembert (rappresentato con un quadrato: ${\displaystyle \Box }$), anche chiamato operatore dalembertiano^[1] dal nome di Jean Baptiste Le Rond d'Alembert oppure operatore delle onde, è l'estensione dell'operatore di Laplace nello spazio di Minkowski e di altre soluzioni delle equazioni di Einstein. È impiegato nella teoria delle onde, nell'elettromagnetismo e nella relatività speciale e generale.

In meccanica classica l'operatore dalembertiano si scrive:

${\displaystyle \Box =\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}}$

dove v è la velocità dell'onda e ${\displaystyle \nabla ^{2}=\Delta }$ è l'operatore di Laplace. Nella relatività ristretta il dalembertiano prende la forma:

${\displaystyle \Box =\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }=-\partial _{0}^{2}+\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\partial _{3}^{2}=\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}}$

dove ${\displaystyle \Delta }$ è il laplaciano ed ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ è il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski con la segnatura ${\displaystyle (-1,\;1,\;1,\;1)}$. È immediato verificare che il dalembertiano è un operatore invariante sotto trasformazioni di Lorentz e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.