Derivata covariante

Sia ${\displaystyle M}$  una varietà differenziabile. Sia ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$  l'insieme di tutti i campi vettoriali su ${\displaystyle M}$ . Una derivata covariante per ${\displaystyle M}$  è un operatore

${\displaystyle \nabla :{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\longrightarrow {\mathfrak {X}}(M).}$ 

L'immagine ${\displaystyle \nabla (X,Y)}$  viene generalmente indicata con ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ . L'operatore deve soddisfare le proprietà seguenti.

• Linearità a destra, con ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$  interpretato come spazio vettoriale reale:

${\displaystyle \nabla _{X}(\lambda _{1}Y_{1}+\lambda _{2}Y_{2})=\lambda _{1}\nabla _{X}Y_{1}+\lambda _{2}\nabla _{X}Y_{2}.}$ 

• Linearità a sinistra, con ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$  interpretato come modulo sull'anello delle funzioni lisce su ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \nabla _{f_{1}X_{1}+f_{2}X_{2}}Y=f_{1}\nabla _{X_{1}}Y+f_{2}\nabla _{X_{2}}Y.}$ 

• Una versione della regola di Leibnitz:

${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=f\nabla _{X}Y+Y\nabla _{X}f.}$ 

Nelle suddette eguaglianze ${\displaystyle f,f_{1},f_{2}}$  sono funzioni lisce su ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$  (cioè campi scalari), ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$  sono scalari (cioè funzioni costanti), ${\displaystyle X,Y}$  sono campi vettoriali.

Il prodotto ${\displaystyle fX}$  fra una funzione liscia e un campo vettoriale è un campo vettoriale ottenuto riscalando in ogni punto ${\displaystyle x}$  il vettore di ${\displaystyle X}$  per il termine ${\displaystyle f(x)}$ . Il termine ${\displaystyle \nabla _{X}f}$  è l'usuale derivazione di una funzione lungo un campo vettoriale, univocamente determinata da ${\displaystyle M}$ . Interpretando i vettori tangenti proprio come derivazioni di funzioni lisce, questo termine è spesso indicato con ${\displaystyle X(f)}$ .

Una derivata covariante ${\displaystyle \nabla }$ , definita in questo modo, può essere quindi interpretata in altri modi, sostituendo ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  con altri oggetti.

La condizione di linearità a sinistra è più forte di quella richiesta a destra. Come conseguenza di questo fatto, il valore di ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$  in un punto ${\displaystyle x_{0}}$  dipende in realtà soltanto dal valore di ${\displaystyle X}$  in ${\displaystyle x_{0}}$ , e non dai valori che assume nei punti vicini (come invece accade per ${\displaystyle Y}$ ). Questa proprietà permette quindi di definire, per ogni vettore tangente ${\displaystyle v}$  in ${\displaystyle x_{0}}$  e per ogni campo vettoriale ${\displaystyle Y}$ , la derivata covariante di ${\displaystyle Y}$  lungo ${\displaystyle v}$ 

${\displaystyle \nabla _{v}Y.}$ 

Il risultato di questa operazione è un vettore tangente in ${\displaystyle x_{0}}$ , che misura la variazione del campo ${\displaystyle Y}$  lungo la direzione ${\displaystyle v}$ .

Un campo vettoriale è un campo tensoriale di tipo (1,0). Se si omette il campo base ${\displaystyle X}$ , la derivata covariante

${\displaystyle \nabla Y}$ 

di un campo vettoriale ${\displaystyle Y}$  è in modo naturale un campo tensoriale di tipo (1,1). Si tratta del campo che, contratto su un campo vettoriale ${\displaystyle X}$ , restituisce il campo vettoriale ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ .

Una derivata covariante ${\displaystyle \nabla }$  trasforma i tensori di tipo ${\displaystyle (1,0)}$  in tensori di tipo (1,1). Si estende in modo naturale ad un operatore che trasforma i tensori di tipo ${\displaystyle (h,k)}$  in tensori di tipo ${\displaystyle (h,k+1)}$ . Esiste infatti un'unica estensione a tensori arbitrari che soddisfi le proprietà seguenti:

• ${\displaystyle \nabla (\lambda _{1}T_{1}+\lambda _{2}T_{2})=\lambda _{1}\nabla T_{1}+\lambda _{2}\nabla T_{2}}$ 
• ${\displaystyle \nabla (T_{1}\otimes T_{2})=(\nabla T_{1})\otimes T_{2}+T_{1}\otimes (\nabla T_{2}).}$ 

  Lo stesso argomento in dettaglio: Simbolo di Christoffel.

Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di ${\displaystyle M}$  ed un aperto ${\displaystyle A}$  di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Nell'aperto ${\displaystyle A}$  sono definiti i campi di vettori coordinati locali ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},\ldots ,{\mathbf {e} }_{n}}$  e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di ${\displaystyle A}$ , la derivata covariante del campo ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}}$  nella j-esima direzione è una combinazione lineare

${\displaystyle {\nabla _{j}}\,{\mathbf {e} }_{i}=\Gamma _{ij}^{1}{\mathbf {e} }_{1}+\ldots +\Gamma _{ij}^{n}{\mathbf {e} }_{n}=\Gamma _{ij}^{k}{\mathbf {e} }_{k}.}$ 

Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Gli oggetti ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$  sono funzioni regolari (i.e., sono funzioni differenziabili)

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}:A\to \mathbb {R} }$ 

dipendenti da tre indici, e sono detti simboli di Christoffel. Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori: il loro comportamento dipende fortemente dalla carta scelta. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante ${\displaystyle \nabla }$  nell'intorno di un punto.

La derivata covariante di un campo vettoriale ${\displaystyle v}$  può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

${\displaystyle \nabla _{j}v^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma _{jk}^{i}v^{k}.}$ 

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

${\displaystyle \nabla _{j}v_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k}}$ 

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

${\displaystyle \nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma _{k\ell }^{i}v^{\ell j}+\Gamma _{k\ell }^{j}v^{i\ell }}$ 

In generale, per un campo tensoriale di tipo (n, m) la derivata covariante si calcola secondo la formula:

${\displaystyle \nabla _{k}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}+\sum _{\alpha =1}^{n}\Gamma _{k\ell }^{i_{\alpha }}\ v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{\alpha -1}\ \ell \ i_{\alpha +1}\cdots i_{n}}-\sum _{\alpha =1}^{m}\Gamma _{kj_{\alpha }}^{\ell }\ v_{j_{1}\cdots j_{\alpha -1}\ \ell \ j_{\alpha +1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}}$ 

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria di Yang-Mills, Simmetria di gauge ed Elettrodinamica quantistica.

In teoria dei campi il concetto di derivata covariante compare quando si considerano teorie invarianti sotto trasformazioni interne locali, come le teorie di Yang-Mills. Per esempio, l'elettrodinamica quantistica è una teoria di gauge nella quale la lagrangiana è invariante sotto trasformazioni U(1) locali. La lagrangiana dell'elettrone libero è data da:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\bar {\psi }}(x)(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)}$ 

mentre la trasformazione agisce nel modo seguente:

${\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=U(x)\psi (x)=e^{i\alpha (x)}\psi (x)\;;\quad {\bar {\psi }}^{\prime }(x^{\prime })={\bar {\psi }}(x)U^{\dagger }(x)={\bar {\psi }}(x)e^{-i\alpha (x)}}$ 

Andando a sostituire i campi trasformati nella lagrangiana si nota subito che a causa della derivata ${\displaystyle \partial _{\mu }}$  essa non è invariante. Si introduce perciò una derivata covariante tale che:

${\displaystyle \left(D_{\mu }\psi (x)\right)^{\prime }=U(x)D_{\mu }\psi (x)}$ 

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+ieA_{\mu }(x)}$ 

La condizione da richiedere sulle ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$  (che, a meno di un fattore costante, sono i simboli di Christoffel) è che a sua volta si trasformi come:

${\displaystyle A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha (x)}$ 

Di conseguenza, scrivendo (si sottintendono le dipendenze dalle coordinate)

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi ={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{I}}$ 

si ottiene una teoria invariante sotto le cosiddette trasformazioni di gauge di seconda specie, descritte da:

${\displaystyle \psi \longrightarrow e^{i\alpha }\psi \;;\quad {\bar {\psi }}\longrightarrow {\bar {\psi }}e^{-i\alpha }\;;\quad A_{\mu }\longrightarrow A_{\mu }-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha }$ 

Il campo ${\displaystyle A_{\mu }}$  è interpretato fisicamente come il campo elettromagnetico, mentre il termine

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}=J^{\mu }A_{\mu }=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$ 

rappresenta il termine di interazione tra il campo dell'elettrone e il campo elettromagnetico, con e uguale alla carica elettrica dell'elettrone.

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
• (EN) I.Kh. Sabitov, Covariant differentiation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.}
• (EN) Shlomo Sternberg, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964.
• (EN) Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.

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• Relatività generale

• (EN) Eric W. Weisstein, Derivata covariante, su MathWorld, Wolfram Research.  

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