Onda sinusoidale

Un'onda sinusoidale è un'onda dove la variabile ${\displaystyle x}$  è una funzione della forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=A\,\sin \left(2\pi fx+\phi \right)\\&=A\,\sin \left({2\pi \over \tau }x+\phi \right)\\&=A\,\sin \left(\omega x+\phi \right)\\&=A\cos \left(2\pi f\,x+\phi '\right)\\&=A\cos \left({2\pi \over \tau }x+\phi '\right)\\&=A\cos \left(\omega x+\phi '\right)\end{aligned}}}$ 

dove ${\displaystyle A}$  è l'ampiezza, mentre:

${\displaystyle \omega \ =2\pi f={2\pi \over \tau }}$ 

è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di ${\displaystyle 2\pi }$ ). Inoltre:

${\displaystyle f={\omega \over 2\pi }={1 \over \tau }}$ 

è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}}$ 

è il periodo, con ${\displaystyle \phi }$  oppure ${\displaystyle \phi '=\phi -{\tfrac {\pi }{2}}}$  la fase.

Il grafico di una tale classe di funzioni è compreso tra le rette ${\displaystyle y=A}$  e ${\displaystyle y=-A}$ .

Poiché si tratta di una funzione periodica, detto ${\displaystyle \tau }$  il periodo si ha:

${\displaystyle y(x\pm \tau )=y(x)}$ 

 

Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione:

${\displaystyle f(\xi )=f_{\max }\,\Re {\left[\mathrm {e} ^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\omega t+\phi )}\right]}}$ 

dove ${\displaystyle {\vec {k}}}$  è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale, ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:

${\displaystyle k=|{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ 

Lo scalare ${\displaystyle f_{\max }}$  è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine ${\displaystyle \phi }$  rappresenta la fase iniziale dell'onda.

Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale ${\displaystyle x}$  e ad ogni tempo ${\displaystyle t}$  un'ampiezza di oscillazione ${\displaystyle y}$  attorno alla posizione di equilibrio:

${\displaystyle y=f(x,t)\,}$ 

Sono possibili perciò due punti di vista:

• Scegliendo di valutare la dimensione temporale (${\displaystyle x}$  è fissato), si esprime l'oscillazione ${\displaystyle y}$  in dipendenza dal tempo ${\displaystyle t}$  come ${\displaystyle y=f(t)\,}$ .
• Scegliendo di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante (${\displaystyle {\mathit {t}}}$  è fissato) si ha l'"istantanea" dell'onda, cioè la forma d'onda (il suo profilo al tempo fissato di osservazione). L'oscillazione ${\displaystyle y}$  può essere espressa in funzione della posizione ${\displaystyle x}$  come ${\displaystyle {\mathit {y=f(x)}}}$ .

In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come un'opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:

${\displaystyle y=y_{\max }\cos(\omega t+\phi )}$ 

dove ${\displaystyle y_{\max }}$  è l'ampiezza dell'oscillazione e ${\displaystyle \phi }$  è la fase iniziale. Attribuendo a ${\displaystyle \phi }$  un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno a una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in ${\displaystyle y}$  per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.

Fissando la variabile ${\displaystyle x}$  si ha:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)}$ 

dove ${\displaystyle \tau }$  è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase ${\displaystyle {\mathit {v}}}$  allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) a una certa distanza ${\displaystyle {\mathit {x}}}$  dopo un tempo:

${\displaystyle t1={\frac {x}{v}}}$ 

Ciò significa che il punto alla coordinata ${\displaystyle {\mathit {x}}}$  avrà, al tempo ${\displaystyle t}$ , uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}(t-t1)\right]=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}$ 

Raccogliendo ${\displaystyle 2\pi }$  si può passare a una forma più comune che talvolta si trova sui testi:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {t}{\tau }}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right]}$ 

Se si chiama numero d'onda ${\displaystyle k}$  la quantità ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$ , e se la pulsazione è ${\displaystyle \omega }$ , il rapporto già noto dallo studio del moto circolare ${\displaystyle 2\pi /\tau }$  consente di pervenire formalmente all'equazione delle onde armoniche:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos(\omega t-kx)}$ 

Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché ${\displaystyle \cos(\alpha +90)=\sin(-\alpha )}$ , e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè ${\displaystyle y=y_{\max }\,\sin(kx-\omega t)}$ , che talvolta viene presentata sui testi.

Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)}$ 

 

Si è espresso il tempo come ${\displaystyle t=x/v}$ , sostituendo e usando la relazione fondamentale delle onde ${\displaystyle {\mathit {\lambda =v\tau }}}$  (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase ${\displaystyle v}$  in un periodo ${\displaystyle \tau }$ ): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale ${\displaystyle \lambda }$  dipendente solo dalla posizione ${\displaystyle x}$ . Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo un'oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata ${\displaystyle x}$  avrà un'elevazione uguale a quella del punto ${\displaystyle x_{0}}$  da cui l'impulso è partito ${\displaystyle t}$  secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right]}$ 

mentre si sarebbe dovuta considerare un'espressione in parentesi tonda del tipo ${\displaystyle (x+vt)}$  se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo ${\displaystyle {\mathit {v={\frac {\lambda }{\tau }}}}}$  e sostituendo, si ha l'espressione:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{\tau }}\right)\right]}$ 

che considerando la relazione goniometrica ${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \left(\alpha \right)}$  è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).

•  
  Il parametro A (Ampiezza) provoca una dilatazione lungo l'asse y
•  
  Il parametro ${\displaystyle \omega }$  (pulsazione) provoca una dilatazione lungo l'asse x
•  
  Il parametro ${\displaystyle \phi }$  (fase) provoca una traslazione orizzontale
•  
  Il parametro k provoca una traslazione verticale

• (EN) M. Abramowitz, I.A. Stegun, "Handbook of mathematical functions" , Dover, reprint (1972) pp. §4.3

• Onda (fisica)
• Seno (matematica)
• Funzioni trigonometriche

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'onda sinusoidale

• (EN) Yu.A. Gor'kov, Sinusoid, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Yu.A. Gor'kov, Sine, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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