Caratteristica (algebra)

Più generalmente, la caratteristica di un elemento ${\displaystyle a}$  è il più piccolo ${\displaystyle k}$  tale che

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {a+a+\dots +a} \\k\end{matrix}}}$ 

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Nei domini di integrità, la caratteristica è ${\displaystyle 0}$  oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo ${\displaystyle 0=1}$ ) che è l'unico dominio con caratteristica ${\displaystyle 1}$ .

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Se ${\displaystyle A}$  è un sottoanello di ${\displaystyle B}$ , ha la stessa caratteristica di ${\displaystyle B}$ .

Più in generale, se ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  sono anelli e ${\displaystyle A\to B}$  è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di ${\displaystyle B}$  divide quella di ${\displaystyle A}$ .

Se la caratteristica di un anello ${\displaystyle A}$  è un numero primo ${\displaystyle p}$ , allora

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p},}$ 

per tutti gli elementi ${\displaystyle x,y}$  in ${\displaystyle A}$ . La mappa

${\displaystyle f:x\mapsto x^{p},}$ 

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se ${\displaystyle A}$  è un dominio d'integrità.

I campi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , ${\displaystyle \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle \mathbb {C} }$  dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$ , ha caratteristica ${\displaystyle n}$ .

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica ${\displaystyle p^{k}}$  con ${\displaystyle k}$  tendente a infinito.

Come detto sopra, la caratteristica di un campo ${\displaystyle K}$  è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità ${\displaystyle 1}$  è un sottocampo di ${\displaystyle K}$  che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  dei numeri razionali. Se è ${\displaystyle p}$ , è isomorfo ad un campo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica ${\displaystyle p}$ , ad esempio la chiusura algebrica di ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ .

•   Wikizionario contiene il lemma di dizionario «caratteristica»

• Caratteristica, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• Campo, caratteristica di un, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Field Characteristic, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Characteristic of a field, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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