Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Il tensore di Einstein è definito come

In questa espressione ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ è il tensore di Ricci, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ è il tensore metrico e ${\displaystyle R}$ è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi

${\displaystyle g^{\beta \nu }g^{\alpha \mu }\left(\nabla _{\lambda }R_{\alpha \beta \mu \nu }+\nabla _{\mu }R_{\alpha \beta \nu \lambda }+\nabla _{\nu }R_{\alpha \beta \lambda \mu }\right)=0}$

Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene

${\displaystyle \nabla _{\lambda }R_{\nu }^{\nu }-\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\nu }R_{\lambda }^{\nu }=0}$

Contraendo l'indice ${\displaystyle \nu }$, assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo

${\displaystyle 2\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\lambda }R=0}$

Facendo uso della relazione ${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(2R_{\lambda }^{\mu }-\delta _{\lambda }^{\mu }R\right)=2\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\lambda }R}$, possiamo riscrivere l'equazione precedente come^[1][2]

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(2R_{\lambda }^{\mu }-\delta _{\lambda }^{\mu }R\right)=0}$

che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per ${\displaystyle g^{\nu \lambda }}$ abbiamo

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(2R^{\nu \mu }-g^{\nu \mu }R\right)=0}$

ovvero

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(R^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \mu }R\right)=0}$

Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere

${\displaystyle \nabla ^{\mu }\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)=0}$

La quantità tra parentesi coincide con la definizione di ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ data sopra.

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0}$

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

${\displaystyle \nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0,\,\!}$

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

${\displaystyle g^{\nu \sigma }g^{\mu \lambda }(\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu })=0}$

e otteniamo

${\displaystyle \nabla ^{\mu }R_{\rho \mu }-\nabla _{\rho }R+\nabla ^{\nu }R_{\rho \nu }=0.}$

In altre parole:

${\displaystyle 2\nabla ^{\mu }R_{\rho \mu }-\nabla _{\rho }R=0.}$

L'ultima equazione è possibile riscriverla nella forma:

${\displaystyle \nabla _{\rho }{R^{\rho }}_{\mu }={1 \over 2}\nabla _{\mu }R\,,}$

che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880^[3].

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare ${\displaystyle R}$. La traccia ${\displaystyle G}$ del tensore di Einstein in dimensione ${\displaystyle n}$ può essere calcolata nel modo seguente:

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$

In dimensione ${\displaystyle n=4}$ il tensore di Einstein ha quindi traccia ${\displaystyle -R}$, opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione ${\displaystyle n=2}$ (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

• (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
• (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.
• (EN) D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6.
• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) A. Papapetrou, Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Company, 1974, ISBN 90-277-0540-2.
• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.