Regola del prodotto

Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di ${\displaystyle k}$ funzioni ${\displaystyle f_{i},}$ con ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ tutte derivabili:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in ${\displaystyle x}$ è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

${\displaystyle \left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ derivabili in ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle [f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.}$

Ora sottraiamo e sommiamo la quantità ${\displaystyle f(x+h)g(x)}$:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}.}$

Raccogliendo ${\displaystyle f(x+h)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ si ottiene

${\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right].}$

Siccome le funzioni ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ sono, per ipotesi, derivabili in ${\displaystyle x}$, quindi è qui anche continua sia ${\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)=f(x)}$che ${\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)}$. Si conclude che:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x),}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x),}$

e quindi:

${\displaystyle f(x)g'(x)+f'(x)g(x),}$

come volevasi dimostrare.

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ sono due funzioni di ${\displaystyle x}$. Allora il differenziale di ${\displaystyle fg}$ è

${\displaystyle d(fg)=(f+df)(g+dg)-fg=f(dg)+g(df)+(df)(dg).}$

Siccome il termine ${\displaystyle (df)(dg)}$ è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

${\displaystyle d(fg)=f(dg)+g(df).}$

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale ${\displaystyle dx}$, si ottiene

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)=f\left({\frac {dg}{dx}}\right)+g\left({\frac {df}{dx}}\right)}$

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

${\displaystyle (fg)'=fg'+f'g.}$

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione ${\displaystyle f(x)}$ per una costante ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x),}$

ma ${\displaystyle k'=0}$ essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

${\displaystyle D\left[kf(x)\right]=kf'(x).}$

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di ${\displaystyle n}$ funzioni derivabili, ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

${\displaystyle (f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x))'=f_{1}'(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{\prime }(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots +f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}^{\prime }(x),}$

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni ${\displaystyle {f_{j}(x)}}$ prive di zeri:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {f'_{j}(x)}{f_{j}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).}$

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

${\displaystyle {d \over dx}ax^{n}=nax^{n-1},}$

per ${\displaystyle n}$ intero positivo:^[1] ${\displaystyle x^{n}}$ è una produttoria di ${\displaystyle n}$ funzioni uguali tutte uguali a ${\displaystyle x}$, per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di ${\displaystyle n}$ elementi tutti uguali tra loro:

${\displaystyle n{\frac {x'}{x}}x^{n}=nx^{n-1}\cdot x'.}$

Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per ${\displaystyle x'}$ e ricordando che ${\displaystyle x=x^{1}}$, possiamo scrivere:

${\displaystyle nx^{n-1}\cdot x'=nx^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=nx^{n-1}\cdot x^{0}.}$

Il risultato segue ricordando che ${\displaystyle x^{0}=1.}$

Le derivate successive ${\displaystyle n}$-sime del prodotto di due funzioni sono:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x),}$^[2]

dove ${\displaystyle {n \choose k}}$ indica il coefficiente binomiale.

Proviamo a derivare due volte la funzione ${\displaystyle x^{3}e^{x}}$, usando il fatto che la derivata di ${\displaystyle e^{x}}$ è sempre uguale a sé stessa.

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.\end{aligned}}}$

Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{a}={\frac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}.}$

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente
• Regola della somma

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla regola del prodotto

• (EN) product rule, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Regola del prodotto, su MathWorld, Wolfram Research.