Rappresentazione matriciale delle coniche

In geometria, una sezione conica può essere rappresentata in forma matriciale, ossia attraverso l'impiego di matrici.

È possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di equazione:

${\displaystyle \Gamma \left(x,y\right):ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0\;}$

è possibile associare due matrici A e B:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$

da cui vengono calcolati tre numeri:

• l'invariante cubico ${\displaystyle I_{3}}$, determinante della matrice ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle I_{3}=\det(A)=\det {\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle a(cf-e^{2})-b(bf-de)+d(be-cd)\;}$

• l'invariante quadratico ${\displaystyle I_{2}}$, determinante della matrice ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle I_{2}=\det(B)=\det {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle ac-b^{2}}$

• l'invariante lineare ${\displaystyle I_{1}}$, traccia della matrice ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle I_{1}=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle a+c}$

L'appellativo "invariante" deriva dal fatto che applicando alla conica una traslazione qualsiasi e/o una rotazione qualsiasi, questi numeri non cambiano.

Gli appellativi "cubico", "quadratico" e "lineare" derivano dal fatto che moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica per un numero reale non nullo p, gli invarianti risultano moltiplicati rispettivamente per ${\displaystyle p^{3}}$, ${\displaystyle p^{2}}$ e ${\displaystyle p}$. Data l'equazione della conica ${\displaystyle \Gamma (x,y)=0}$, detti ${\displaystyle I_{3}}$, ${\displaystyle I_{2}}$ e ${\displaystyle I_{1}}$ gli invarianti di tale conica e detti ${\displaystyle I_{3}'}$, ${\displaystyle I_{2}'}$ e ${\displaystyle I_{1}'}$ gli invarianti della conica di equazione ${\displaystyle p\cdot \Gamma (x,y)=0}$ con ${\displaystyle p\neq 0}$, si hanno le seguenti identità:

${\displaystyle I_{3}'=p^{3}I_{3}}$ (invariante cubico)

${\displaystyle I_{2}'=p^{2}I_{2}}$ (invariante quadratico)

${\displaystyle I_{1}'=pI_{1}}$ (invariante lineare)

Basandosi sugli invarianti è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire che tipo di oggetto sia, se:

• ${\displaystyle I_{3}=0}$ la conica è degenere e, in particolare, se:
  • ${\displaystyle I_{2}<0}$, si riduce a due rette reali distinte
  • ${\displaystyle I_{2}=0}$, si riduce a
    • coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
    • coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
  • ${\displaystyle I_{2}>0}$, si riduce a due rette immaginarie coniugate.
• ${\displaystyle I_{3}\neq 0}$ la conica è non degenere e, in particolare, se:
  • ${\displaystyle I_{2}<0}$ è un'iperbole
    • equilatera se ${\displaystyle I_{1}=0}$
    • non equilatera se ${\displaystyle I_{1}\neq 0}$
  • ${\displaystyle I_{2}=0}$ è una parabola
  • ${\displaystyle I_{2}>0}$ è un'ellisse
    • reale se è ${\displaystyle I_{1}I_{3}<0}$
    • immaginaria se è ${\displaystyle I_{1}I_{3}>0}$

Ad esempio, la conica di equazione:${\displaystyle x^{2}-x=0}$, avendo ${\displaystyle I_{3}=0}$ e ${\displaystyle I_{2}<0}$, è una conica degenere in due rette reali distinte: ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=1}$.

Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0\;}$

è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma canonica di una conica, si intende:

• per l'ellisse: deve avere come centro l'origine degli assi cartesiani e i suoi fuochi devono essere sull'asse ${\displaystyle x\;}$ o sull'asse ${\displaystyle y\;}$
• per la parabola: deve avere vertice nell'origine e come asse uno degli assi cartesiani
• per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse ${\displaystyle x\;}$ o all'asse ${\displaystyle y\;}$.

In generale un'equazione del tipo:${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0\;}$, fornisce una conica rototraslata rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1º passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il vertice nell'origine (2º passo).

• 1º passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di ${\displaystyle xy\;}$, cioè ${\displaystyle 2b\;}$.

Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma ${\displaystyle \lambda _{1}x^{2}+\lambda _{2}y^{2}+2dx+2ey+f=0\;}$, in cui ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$ si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$

e si otterrà la matrice

${\displaystyle B'={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}}$

con ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$ autovalori della matrice diagonale.

${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$ sono i coefficienti dei termini quadratici dell'equazione della conica. Nel caso della parabola, o ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ o ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$ sarà nullo, in quanto nell'equazione è presente un solo termine quadratico.

• 2º passo: con la traslazione, se la conica è a centro (un'ellisse o un'iperbole), si ottiene un'equazione del tipo: ${\displaystyle \lambda _{1}x^{2}+\lambda _{2}y^{2}+\lambda _{3}=0\;}$ in cui ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$ sono i valori ricavati con il passo precedente, mentre ${\displaystyle \lambda _{3}\;}$ si ottiene nella maniera seguente:

${\displaystyle \lambda _{3}={\frac {I_{3}}{I_{2}}}\;}$ .

Se la conica è una parabola, si ottiene un'equazione del tipo: ${\displaystyle \lambda _{1}x^{2}+2\lambda _{3}y=0\;}$ in cui: ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ è l'autovalore non nullo e ${\displaystyle \lambda _{3}=\pm {\sqrt {\left|{\frac {I_{3}}{\lambda _{1}}}\right|}}\;}$ con ${\displaystyle I_{3}}$ invariante cubico. Notiamo esplicitamente che per le parabole: ${\displaystyle \lambda _{1}=I_{1}=a+c\;}$

È data la conica di equazione ${\displaystyle \Gamma (x,y)=9x^{2}-4xy+6y^{2}-3=0}$; studiando i determinanti di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ scopriamo che è un'ellisse. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'ellisse:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\partial \Gamma \over \partial x}=18x-4y=0\\{\partial \Gamma \over \partial y}=-4x+12y=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow C(0,0)}$

Poiché il centro si trova già nell'origine non ci sarà bisogno di traslare la conica. Per ottenere la forma canonica dobbiamo ruotare la conica diagonalizzando ${\displaystyle B}$; gli autovalori della forma quadratica sono 5 e 10 e gli autovettori rispettivi sono (1,2) e (-2,1). Incolonnando questi autovettori opportunamente normalizzati in una matrice ${\displaystyle P}$ otteniamo una matrice di rotazione (destrorsa, poiché ${\displaystyle det(P)=1}$):

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{1 \over {\sqrt {5}}}&{-2 \over {\sqrt {5}}}\\{2 \over {\sqrt {5}}}&{1 \over {\sqrt {5}}}\end{bmatrix}}=\left({\frac {1}{\sqrt {5}}}\right){\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}}}$

Poiché ${\displaystyle (x,y)^{T}=P({\tilde {x}},{\tilde {y}})^{T}}$, si può scrivere:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {1}{\sqrt {5}}}({\tilde {x}}-2{\tilde {y}})\\y={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2{\tilde {x}}+{\tilde {y}})\end{matrix}}\right.}$

Andando a sostituire nell'equazione originale della conica otteniamo la nuova equazione ${\displaystyle 5{\tilde {x}}^{2}+10{\tilde {y}}^{2}-3=0}$, che è la stessa conica di partenza ruotata però in maniera da avere i fuochi (in questo caso) sull'asse ${\displaystyle x}$. La forma canonica della nostra conica è ${\displaystyle {5 \over 3}X^{2}+{10 \over 3}Y^{2}=1}$, con fuochi ${\displaystyle F_{1}=\left(-{\sqrt {\frac {3}{10}}},0\right),F_{2}=\left({\sqrt {\frac {3}{10}}},0\right)}$

È data la conica di equazione ${\displaystyle \Gamma (x,y)=4xy+3y^{2}+2x+4y=0}$; studiando i determinanti di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ scopriamo che è un'iperbole. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'iperbole:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\partial \Gamma \over \partial x}=4y+2=0\\{\partial \Gamma \over \partial y}=4x+6y+4=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow C\left(-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{2}}\right)}$

Gli asintoti sono le rette passanti per ${\displaystyle C}$ parallele a quelle ottenute scomponendo la forma quadratica della conica:

${\displaystyle 4xy+3y^{2}=y(4x+3y)}$
${\displaystyle \Rightarrow r_{1}:y=-{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle \Rightarrow r_{2}:4x+3y=4\left(-{\frac {1}{4}}\right)+3\left(-{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {5}{2}}}$

Per ottenere la forma canonica si può impiegare la formula

${\displaystyle \lambda _{1}X^{2}+\lambda _{2}Y^{2}+\left({\frac {I_{3}}{I_{2}}}\right)=0}$,

con ${\displaystyle \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=-1}$ autovalori di ${\displaystyle B}$ ed è:

${\displaystyle 4X^{2}-Y^{2}-{\frac {5}{4}}=0}$

I nuovi asintoti sono le due rette aventi forma ${\displaystyle x=y\left({\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)}$ e passanti per l'origine:

${\displaystyle r'_{1}:x={\frac {y}{2}}}$
${\displaystyle r'_{2}:x=-{\frac {y}{2}}}$

I fuochi della forma canonica hanno forma ${\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}$ e sono dunque:

${\displaystyle F_{1}=\left(-{\frac {5}{4}},0\right)}$
${\displaystyle F_{2}=\left({\frac {5}{4}},0\right)}$

È data la conica di equazione ${\displaystyle \Gamma (x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}-8x=0}$; studiando ${\displaystyle I_{3}}$ e ${\displaystyle I_{2}}$ scopriamo che è una parabola. Diagonalizzando ${\displaystyle B}$ troviamo come autovalori 0 e 2 e come autovettori rispettivi (1,-1) e (1,1). Per trovare il vertice ${\displaystyle V}$ intersechiamo la parabola con una retta ortogonale all'asse della conica: poiché l'asse della parabola è una retta passante per il vertice ${\displaystyle V}$ di direzione parallela all'autovettore relativo all'autovalore nullo (in questo caso (1,-1)), una retta ad essa parallela è senz'altro ${\displaystyle x=-y}$, quindi una retta ad essa ortogonale è ${\displaystyle x=y}$. Dall'intersezione si trovano i punti ${\displaystyle A}$(0,0) e ${\displaystyle B}$(2,2); il loro punto medio ${\displaystyle M}$(1,1) si trova sull'asse. L'asse è quindi la retta parallela a ${\displaystyle x=-y}$ passante per ${\displaystyle M}$ ed è ${\displaystyle x+y=2}$. Intersecando ora l'asse con la parabola troviamo il vertice: ${\displaystyle V(1/2,3/2)}$. Traslando in modo che ${\displaystyle V}$ sia centrato sull'origine:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\tilde {x}}=x-{\frac {1}{2}}\\{\tilde {y}}=y-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\right.}$

l'equazione diventa:

${\displaystyle ({\tilde {x}}+{\tilde {y}})^{2}-4{\tilde {x}}+4{\tilde {y}}=0}$

La matrice ${\displaystyle P}$ è matrice di rotazione composta dai due autovettori normalizzati (autoversori):

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{1 \over {\sqrt {2}}}&{-1 \over {\sqrt {2}}}\\{1 \over {\sqrt {2}}}&{1 \over {\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}}$

Poiché ${\displaystyle (x,y)^{T}=P({\tilde {x}},{\tilde {y}})^{T}}$, si può scrivere:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\tilde {x}}-{\tilde {y}})\\y={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\tilde {x}}+{\tilde {y}})\end{matrix}}\right.}$

Andando a sostituire otteniamo la forma canonica ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}X=Y^{2}}$, con fuoco ${\displaystyle F\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},0\right)}$ e direttrice ${\displaystyle d:x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

• Autovettore e autovalore
• Determinante
• Diagonalizzabilità
• Matrice
• Sezione conica

• Coniche con GeoGebra, su geogebratube.org.

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