Raccoglimento a fattor comune

Il raccoglimento a fattor comune è un'operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale e/o una parte numerica che moltiplica tutto ciò che la segue, e si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione^[1]. Si divide in raccoglimento totale e raccoglimento parziale.

Il raccoglimento totale è la più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori, che consiste nell'individuare, se esiste, il monomio massimo comun divisore^[2]; per esempio: ${\displaystyle AB+AC=A(B+C).}$

Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni, ma solo alcuni di essi^[3]; si procede quindi prima con un raccoglimento parziale raggruppando le parti in comune. La procedura è finalizzata nell'evidenziare, dopo questo primo passaggio, una parte che in un secondo tempo può essere raccolta totalmente. Per esempio, si consideri il seguente polinomio: ${\displaystyle ax+bx+ay+by.}$

I primi due termini hanno in comune un termine ${\displaystyle x}$, il terzo e il quarto un termine ${\displaystyle y}$; procedendo col raccoglimento, si ottiene:

${\displaystyle x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b).}$

Nell'ultimo passaggio, dato che sia la ${\displaystyle x}$ che la ${\displaystyle y}$ sono moltiplicate per il fattore ${\displaystyle a+b}$, si può raccogliere quest'ultimo e si ottiene il prodotto ${\displaystyle (x+y)(a+b)}$.

L'operazione di raccoglimento a fattor comune è particolarmente utile perché consente di semplificare anche di molto dei polinomi che, se non ridotti a una forma più accessibile, risulterebbero molto difficili da trattare.

• Si consideri come esempio il binomio:

${\displaystyle 2x^{3}+10x^{2}.}$

Qualora si volesse trovarne gli zeri (o discuterne il segno), è possibile raccogliere a fattor comune il massimo comun divisore tra i monomi che compongono il binomio; a esempio:

${\displaystyle 2x^{3}+10x^{2}=0\,\,\to \,\,2x^{2}(x+5)=0.}$

Per la legge di annullamento del prodotto, l'equazione è soddisfatta per ${\displaystyle x=0\,\,\lor \,\,x=-5}$.

• Analogamente è possibile fare uso del raccoglimento a fattor comune per semplificare le frazioni:

riprendendo in parte l'esempio precedente e considerando la frazione:

${\displaystyle {\frac {2x^{3}+10x^{2}}{x^{3}+5x^{2}+x+5}},}$

si può procedere col raccoglimento totale a numeratore (visto prima) e con un raccoglimento prima parziale e poi totale a denominatore:

${\displaystyle {\frac {2x^{2}(x+5)}{x^{2}(x+5)+x+5}}={\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}.}$

È ora possibile semplificare sia a numeratore che a denominatore il fattore ${\displaystyle (x+5)}$, a patto però di calcolare prima il campo di esistenza, ponendo ${\displaystyle x+5\neq 0\,\,\implies \,\,x\neq -5}$:

${\displaystyle {\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}={\frac {2x^{2}}{x^{2}+1}}.}$

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

• Regola di Ruffini
• Polinomi
• Equazione

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