Simbolo di Jacobi

Il simbolo di Jacobi è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri. Esso prende il nome dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi.

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che utilizza la scomposizione in fattori primi dell'argomento inferiore. È definito come segue:

Sia n > 2 un numero naturale dispari e n = ${\displaystyle p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$. Per ogni intero a, il simbolo di Jacobi è ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}}$ dove ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ con p primo è il simbolo di Legendre. Si conviene inoltre di porre ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1}$

Il simbolo di Jacobi possiede alcune utili proprietà che consentono di velocizzare i calcoli rispetto all'uso diretto della definizione. Tra di esse si ricordano (si assuma che a e b siano interi e che m ed n siano interi positivi dispari):

1. Se n è primo, il simbolo di Jacobi è evidentemente uguale al simbolo di Legendre.
2. ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}}$
3. ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0}$ se ${\displaystyle (a,n)\neq 1}$
4. ${\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {b}{n}}\right)}$
5. ${\displaystyle \left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)}$
6. Se a ≡ b (mod n), allora ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)}$
7. ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)=1}$
8. ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}b}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)}$ se ${\displaystyle (a,n)=1}$
9. ${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}$ = 1 se n ≡ 1 (mod 4) e −1 se n ≡ 3 (mod 4)
10. ${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n^{2}-1}{8}}\right)}}$ = 1 se n ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se n ≡ 3 o 5 (mod 8)
11. ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{\left({\frac {m-1}{2}}\right)\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}$

L'ultima proprietà è molto simile alla legge di reciprocità quadratica per il simbolo di Legendre.

Se ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1}$, allora a non è un residuo quadratico di n perché non è un residuo quadratico di qualche fattore di n. Inoltre, se ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0}$, allora ${\displaystyle (a,n)>1}$. Tuttavia, se ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1}$ non si può dedurre che a sia un residuo quadratico di n perché è possibile che un numero pari di fattori di n siano non-residui, e quindi il prodotto dei loro simboli di Legendre valga ugualmente 1.

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Capitolo 9.7)

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