Notazione di Einstein

In algebra lineare la notazione di Einstein o la convenzione di Einstein nelle sommatorie è una convenzione per contrarre i tensori: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.

Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello spaziotempo di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.

La convenzione è stata introdotta dallo stesso Albert Einstein per rendere più concise alcune equazioni di geometria differenziale utili a formulare la relatività generale. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.

Nell'articolo del 1916 "La fondazione della teoria della relatività generale" (Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie),^[1] dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata", da applicare ai tensori precedentemente introdotti. A proposito scrive:

La convenzione è quindi la seguente:

Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di tensori. Gli esempi qui proposti riguardano tutti tensori.

Il prodotto scalare di due vettori ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è definito come

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.}$

Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{i}y^{i}.}$

Infatti il termine ${\displaystyle x_{i}y^{i}}$ contiene due volte l'indice ${\displaystyle i}$, una volta come covariante e una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di ${\displaystyle i}$ può essere sottintesa.

Il prodotto vettoriale di due vettori ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è definito come

${\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}\,\!}$

Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici ${\displaystyle j}$ e ${\displaystyle k}$ poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ dipendente da 3 indici è il simbolo di Levi-Civita. L'espressione però non è sommata sull'indice ${\displaystyle i}$, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni ${\displaystyle i}$ l'${\displaystyle i}$-esima componente del prodotto vettoriale fra ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Indicando con

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

la base canonica di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} ^{i}}$

Qui la somma è effettuata su tutti gli indici ${\displaystyle i,j,k}$. In altre parole,

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}.}$

In un'espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano muti e gli altri sono liberi. Ad esempio, nell'espressione

${\displaystyle v^{i}=T_{k}^{i}w^{k}-U_{h}^{i}z^{h}}$

gli indici ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle h}$ sono muti e l'indice ${\displaystyle i}$ è libero. Poiché gli indici ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle h}$ devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:

${\displaystyle v^{i}=T_{h}^{i}w^{h}-U_{k}^{i}z^{k}.}$

La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i tensori) valgano componente per componente o se siano equazioni tensoriali, indipendenti dalla scelta di una base. Per questo motivo Roger Penrose e altri^[2] hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten:

• Equazioni che contengano indici indicati da lettere latine, del tipo

  ${\displaystyle T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}}$

  sono da considerarsi relazioni tra tensori e non è necessaria la scelta di una base di coordinate
• Equazioni che contengano indici indicati da lettere greche, del tipo

  ${\displaystyle T_{\nu _{1},\dots ,\nu _{s}}^{\mu _{1},\dots ,\mu _{r}}}$

  sono da considerarsi relazioni tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria la scelta di una base di coordinate.

La notazione astratta degli indici (abstract index notation) distingue queste due situazioni; pertanto

${\displaystyle T_{de}^{abc},\ T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}}$

indicano veri e propri tensori di tipo (3, 2) e ${\displaystyle (r,s)}$, mentre

${\displaystyle T_{\lambda }^{\mu }}$

indica un numero, componente del tensore ${\displaystyle T}$ dipendente dai numeri ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \lambda }$.

Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno spaziotempo a 4 dimensioni,^[2] tuttavia ancora diffuso,^[3] secondo il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali Per esempio,

${\displaystyle x^{\mu }x_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}=-(x^{0})^{2}+||{\hat {x}}||^{2}}$

dove abbiamo usato la metrica

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)}$

e ${\displaystyle x^{0}=ct}$, invece

${\displaystyle x^{i}x_{i}=\sum _{i=1}^{3}=||{\hat {x}}||^{2}.}$

La parte spaziale (vettore 3 dimensionale) del quadrivettore ${\displaystyle x}$ è indicata da ${\displaystyle {\hat {x}}}$ e

${\displaystyle ||{\hat {x}}||^{2}}$

è la norma quadra di ${\displaystyle {\hat {x}}}$.

• Tensore
• Notazione bra-ket

• (EN) Eric W. Weisstein, Notazione di Einstein, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Notazione di Einstein, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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