Modulo artiniano

In matematica, un modulo artiniano è un modulo su un anello ${\displaystyle A}$ tale che l'insieme dei suoi sottomoduli soddisfa la condizione della catena discendente. Un anello che è un modulo artiniano su sé stesso è detto anello artiniano; entrambe le nozioni prendono nome da Emil Artin.

La definizione di modulo artiniano è in un certo senso duale a quella di modulo noetheriano.

Sia ${\displaystyle M}$ un modulo sinistro su un anello ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle M}$ è un modulo artiniano se ogni catena discendente di sottomoduli

${\displaystyle N_{0}\supseteq N_{1}\supseteq \cdots \supseteq N_{i}\supseteq \cdots }$

si stabilizza, ovvero se esiste un indice ${\displaystyle \alpha }$ tale che ${\displaystyle N_{\alpha }=N_{i}}$ per ogni ${\displaystyle i>\alpha }$. Analoghe definizioni valgono se ${\displaystyle M}$ è un modulo destro.

Se ${\displaystyle M=A}$ è artiniano con la struttura di ${\displaystyle A}$-modulo sinistro (ovvero quella in cui i sottomoduli sono i suoi ideale sinistri) allora ${\displaystyle M}$ è detto anello artiniano sinistro; analogamente, è detto anello artiniano destro se è artiniano come ${\displaystyle A}$-modulo destro. Nel caso in cui ${\displaystyle A}$ sia contemporaneamente artiniano sinistro e destro è detto semplicemente "artiniano".

Ogni modulo finito è artiniano (in quanto contiene solo un numero finito di sottomoduli).

Se ${\displaystyle M}$ è un modulo artiniano, allora ogni suo sottomodulo e ogni suo quoziente è ancora artiniano; inoltre, la somma diretta di un numero finito di moduli artiniani è ancora artiniana. Ad esempio, se ${\displaystyle K}$ è un campo, allora ogni spazio vettoriale (ovvero ogni ${\displaystyle K}$-modulo) di dimensione finita è un modulo artiniano (essendo la somma diretta di una quantità finita di copie di ${\displaystyle K}$).

Data una successione esatta

${\displaystyle 0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0}$,

${\displaystyle M}$ è un modulo artiniano se e solo se lo sono sia ${\displaystyle L}$ che ${\displaystyle N}$.

Ogni modulo artiniano finitamente generato su un anello commutativo è noetheriano. Questa proprietà non è valida in generale: ad esempio, il gruppo di Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ (isomorfo, ad esempio, al gruppo moltiplicativo di tutte le radici ${\displaystyle p^{n}}$-esime dell'unità, con ${\displaystyle p}$ primo fissato e ${\displaystyle n}$ che varia tra i numeri naturali) è uno ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo artiniano ma non noetheriano. Un modulo è contemporaneamente artiniano e noetheriano se e solo se ha lunghezza finita.

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

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