Fattorione

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In teoria dei numeri, un fattorione in una data base numerica ${\displaystyle b}$ è un numero naturale che è uguale alla somma dei fattoriali delle sue cifre.^[1][2][3] Il nome fattorione è stato coniato da Clifford A. Pickover.^[4]

Sia ${\displaystyle n}$ un numero naturale. Definiamo la somma del fattoriale delle cifre^[5] di ${\displaystyle n}$ in una base ${\displaystyle b>1}$ come la funzione ${\displaystyle SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ data da:

${\displaystyle SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

dove ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ è il numero di cifre nel numero in base ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle n!}$ è il fattoriale di ${\displaystyle n}$ e

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

è il valore di ogni cifra del numero. Un numero naturale ${\displaystyle n}$ è un ${\displaystyle b}$-fattorione se è un punto fisso per ${\displaystyle SFD_{b}}$, cioè se ${\displaystyle SFD_{b}(n)=n}$. ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 2}$ sono punti fissi per tutte le basi ${\displaystyle b}$, e quindi sono fattorioni banali in ogni base; tutti gli altri eventuali fattorioni sono fattorioni non banali.

Ad esempio, il numero 145 in base ${\displaystyle b=10}$ è un fattorione perché ${\displaystyle 145=1!+4!+5!.}$

Similmente a quanto si ha con la fattorizzazione, un numero naturale ${\displaystyle n}$ è un fattorione socievole se è un punto periodico per ${\displaystyle SFD_{b}}$, cioè ${\displaystyle SFD_{b}^{k}(n)=n}$ per un numero intero positivo ${\displaystyle k}$ e pertanto ${\displaystyle n}$ forma un ciclo di periodo ${\displaystyle k}$. Un fattorione è un fattorione socievole con ${\displaystyle k=1}$, e un fattorione amichevole è un fattorione socievole con ${\displaystyle k=2}$.^[6][7]

Tutti i numeri sono rappresentati in base ${\displaystyle b}$.

Base ${\displaystyle b}$	Fattorioni non banali ( ${\displaystyle n\neq 1}$, ${\displaystyle n\neq 2}$ )[8]	Cicli
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing }$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing }$
7	${\displaystyle \varnothing }$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing }$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871[7] 872 → 45362 → 872[6]

• Numero felice
• Numero di Kaprekar
• Numero di Armstrong
• Numero di Münchhausen

• (EN) Fattorioni presso Wolfram MathWorld