Divisione dei polinomi

In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché separa il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili^[1].

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi ${\displaystyle A(x)}$ e ${\displaystyle B(x)}$ esistono unici altri due polinomi ${\displaystyle Q(x)}$ e ${\displaystyle R(x)}$ tali che:

${\displaystyle A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)}$

posto che il grado di ${\displaystyle R(x)}$ sia minore di quello di ${\displaystyle B(x)}$. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di ${\displaystyle Q(x)}$ sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di ${\displaystyle A(x)}$ e quello di ${\displaystyle B(x)}$.

Nel caso in cui ${\displaystyle R(x)=0}$, ${\displaystyle A(x)}$ sarebbe divisibile per ${\displaystyle B(x)}$.

L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi^[2]:

1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di ${\displaystyle A(x)}$ (ad esempio, ${\displaystyle x^{2}-1}$ andrà scritto come ${\displaystyle x^{2}+0x-1}$).

   ${\displaystyle A(x)}$	${\displaystyle B(x)}$

2. Si divide il termine di grado massimo di ${\displaystyle A(x)}$ per il termine di grado massimo di ${\displaystyle B(x)}$ e si scrive il risultato sotto ${\displaystyle B(x)}$.

   ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +a_{0}}$	${\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}$
   			${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}$

3. Si moltiplica questo termine ${\displaystyle q_{k}x^{k}}$ per il polinomio ${\displaystyle B(x)}$ e si scrive il risultato sotto ${\displaystyle A(x)}$, incolonnando ogni termine sotto il termine di ${\displaystyle A(x)}$ di grado uguale.

   ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +a_{0}}$	${\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}$
   ${\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}$	${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}$

4. Si esegue la sottrazione tra ${\displaystyle A(x)}$ e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in ${\displaystyle x^{n}}$ si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (${\displaystyle n-1}$ o anche meno).

   ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +a_{0}}$	${\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}$
   ${\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}$	${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}$
   ${\displaystyle //+r_{n-1}x^{n-1}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +r_{0}}$

5. Se il grado di questo polinomio differenza ${\displaystyle R_{1}(x)}$ è maggiore o uguale a quello di ${\displaystyle B(x)}$ si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso ${\displaystyle R_{1}}$ come dividendo e aggiungendo il termine

   ${\displaystyle {\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}}$

   a destra del termine ${\displaystyle q_{k}x^{k}}$, come addendo successivo.
6. Quando si sarà raggiunto un polinomio ${\displaystyle R_{i}(x)}$ di grado inferiore a ${\displaystyle B(x)}$, allora tale polinomio ${\displaystyle R_{i}(x)}$ sarà il resto ${\displaystyle R(x)}$ della divisione; il polinomio

   ${\displaystyle Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},}$

   formatosi mano a mano sotto ${\displaystyle B(x)}$, sarà invece il polinomio quoziente.

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

${\displaystyle A(x)=3x^{4}-x^{3}}$

per il polinomio

${\displaystyle B(x)=x^{2}-2}$

Scriviamo i due polinomi ${\displaystyle A(x)}$ e ${\displaystyle B(x)}$ come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$

Dividiamo il termine di grado massimo di ${\displaystyle A(x)}$, che risulta essere ${\displaystyle 3x^{4}}$, per il termine di grado massimo di ${\displaystyle B(x)}$, che è ${\displaystyle x^{2}}$ e scriviamo il risultato sotto ${\displaystyle B(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
					${\displaystyle 3x^{2}}$

Ora scriviamo, sotto ${\displaystyle A(x)}$, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio ${\displaystyle B(x)}$. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}}$

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di ${\displaystyle A(x)}$ e del polinomio scritto sotto ${\displaystyle A(x)}$, sono uguali.

Ora sottraiamo ${\displaystyle A(x)}$ con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio ${\displaystyle R_{1}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$

Il grado di ${\displaystyle R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}}$ è maggiore di quello di ${\displaystyle B(x)}$, dunque iteriamo il procedimento.

Dividiamo il termine di grado massimo di ${\displaystyle R_{1}}$ che risulta essere ${\displaystyle -x^{3}}$ per il termine di grado massimo di ${\displaystyle B(x)}$ e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere ${\displaystyle -x}$, per il polinomio ${\displaystyle B(x)}$ e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto ${\displaystyle R_{1}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio ${\displaystyle R_{1}(x)}$ e il polinomio scritto sotto per ottenere ${\displaystyle R_{2}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$

Dato che il grado di ${\displaystyle R_{2}(x)}$ non è inferiore a quello di ${\displaystyle B(x)}$ dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Dividiamo il termine di grado superiore di ${\displaystyle R_{2}(x)}$ per il termine di grado superiore di ${\displaystyle B(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x+6}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$

Moltiplichiamo ${\displaystyle B(x)}$ per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto ${\displaystyle R_{2}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x+6}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$
		${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle -12}$

Eseguiamo la sottrazione tra ${\displaystyle R_{2}(x)}$ e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio ${\displaystyle R_{3}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x+6}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$
		${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle -12}$
		${\displaystyle //}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +12}$

Siamo giunti a ${\displaystyle R_{3}(x)=-2x+12}$, che ha grado strettamente minore di ${\displaystyle B(x)=x^{2}-2}$, dunque il resto è

${\displaystyle R(x)=R_{3}(x)}$

e il quoziente della nostra divisione è

${\displaystyle Q(x)=3x^{2}-x+6}$

possiamo quindi scrivere

${\displaystyle {\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}}$

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma ${\displaystyle B(x)=x-r}$ o ${\displaystyle B(x)=ax-k}$, un binomio di primo grado^[3]. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica, vol. 3, Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

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