Gruppo moltiplicativo

In matematica e nella teoria dei gruppi il termine gruppo moltiplicativo si riferisce, a seconda del contesto ad uno dei seguenti concetti:

• qualsiasi gruppo ${\displaystyle G}$ la cui operazione binaria è scritta con notazione moltiplicativa (invece di essere scritta con la notazione additiva usata per i gruppi abeliani);
• il sottogruppo rispetto alla moltiplicazione degli elementi invertibili di un campo^[1], di un anello, o altra struttura che abbia la moltiplicazione tra le sue operazioni. Nel caso di un campo ${\displaystyle F}$ il gruppo è ${\displaystyle \{F-\{0\},\cdot \},}$ dove 0 si riferisce all'elemento zero di ${\displaystyle F}$ e l'operazione binaria ${\displaystyle \cdot }$ è la moltiplicazione del campo;
• il toro algebrico ${\displaystyle \mathbf {GL} _{1}}$.

Lo schema in gruppi delle radici ${\displaystyle n}$-sime dell'unità è per definizione il nucleo della ${\displaystyle n}$-mappa di potenza sul gruppo moltiplicativo ${\displaystyle \mathbf {GL} _{1}}$, considerato come schema in gruppi. Perciò per qualsiasi intero ${\displaystyle n>1}$ possiamo considerare il morfismo sul gruppo moltiplicativo che prende le potenze ${\displaystyle n}$-esime, e assume un prodotto fibrato appropriato nel senso della teoria degli schemi di questo, con il morfismo ${\displaystyle e}$ che funziona come identità.

Il risultante schema in gruppi viene scritto come ${\displaystyle \mu _{n}}$. Questo origina uno schema ridotto, quando lo poniamo su un campo ${\displaystyle K}$, se e solo se la caratteristica di ${\displaystyle K}$, non divide ${\displaystyle n}$. Questo dà origine ad alcuni esempi chiave di schemi non ridotti (ossia schemi con elementi nilpotenti nei loro fasci di struttura; per esempio ${\displaystyle \mu _{p}}$ su un campo finito con ${\displaystyle p}$ elementi per qualsiasi numero primo ${\displaystyle p}$.

Questo fenomeno non è facilmente esprimibile nel linguaggio classico della geometria algebrica. Risulta che esso è di grande importanza, per esempio, nell'esprimere la teoria di dualità delle varietà abeliane nella caratteristica ${\displaystyle p}$ (teoria di Pierre Cartier). La coomologia di Galois di questo schema di gruppo è un modo per esprimere la teoria di Kummer.

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V.Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900

• Gruppo moltiplicativo degli interi modulo n
• Gruppo additivo

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