Cerchio di Carlyle

In matematica, il cerchio di Carlyle è un sistema semplice e ingegnoso per risolvere per via geometrica (con l'uso di soli riga e compasso) un'equazione di secondo grado. Prende il nome da Thomas Carlyle il quale, prima di dedicarsi alla storia e alla filosofia, in gioventù aveva mostrato notevoli doti come matematico.

Data l'equazione

${\displaystyle x^{2}-sx+p=0\,\!}$

in cui ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle p}$ sono segmenti di lunghezza data (con segno), è sufficiente disegnare su un piano cartesiano i punti ${\displaystyle A(0,1)}$ e ${\displaystyle B(s,p)}$. Costruito un cerchio il cui diametro è identificato dai punti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, se tale cerchio interseca l'asse delle ${\displaystyle x}$, i punti ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ di intersezione sono le soluzioni reali dell'equazione data.

A destra è riportata le descrizione dei due casi principali, per ${\displaystyle p}$ maggiore o minore di zero. In entrambi i casi è semplice verificare che

${\displaystyle s=x_{1}+x_{2}\,\!}$

Se ${\displaystyle p<0}$ (figura 1), per il teorema delle corde abbiamo la seguente equivalenza:

${\displaystyle {\overline {Ox_{1}}}\cdot {\overline {Ox_{2}}}={\overline {OA}}\cdot {\overline {OP}}\,\!}$

ovvero

${\displaystyle (x_{1})\cdot (-x_{2})=(1)\cdot (-p)\,\!}$

Per ${\displaystyle p>0}$ (figura 2) si può analogamente arrivare al risultato

${\displaystyle (x_{1})\cdot (x_{2})=(1)\cdot (p)\,\!}$

Ricapitolando, in entrambi i casi abbiamo:

${\displaystyle s=x_{1}+x_{2}\,\!}$

${\displaystyle p=x_{1}\cdot x_{2}\,\!}$

Di conseguenza, sviluppando l'espressione di partenza otteniamo che

${\displaystyle x^{2}-sx+p=x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}\cdot x_{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!}$

da cui risulta evidente che ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado originale; notare che in questa costruzione, ${\displaystyle s}$ rappresenta la somma delle soluzioni e ${\displaystyle p}$ il prodotto: il cerchio di Carlyle consente quindi di trovare in modo semplice le soluzioni di un'equazione di secondo grado in cui sono noti la somma e il prodotto delle radici.

Un'altra dimostrazione è ricavabile mediante le regole della geometria analitica.

Sia C centro del cerchio di diametro ${\displaystyle A(0,1)}$ e ${\displaystyle B(s,q)}$. Esso è il punto medio del segmento ${\displaystyle AB}$:

${\displaystyle C\left({\frac {0+s}{2}},{\frac {1+q}{2}}\right)=C\left({\frac {s}{2}},{\frac {1+q}{2}}\right)}$

Il raggio del cerchio è il segmento ${\displaystyle AC}$:

${\displaystyle r={\sqrt {\left(0-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}}}}$

Data l'equazione analitica del cerchio:

${\displaystyle (x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle \left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}}$

Le intersezioni con l'asse ${\displaystyle x}$, chiamate ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$, sono le soluzioni del sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}\left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}\\y=0\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ sono pertanto le soluzioni dell'equazione

${\displaystyle \left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(0-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}}$

${\displaystyle x^{2}-sx+{\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {(q+1)^{2}}{4}}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}}$

Da cui:

${\displaystyle x^{2}-sx+{\frac {q}{2}}+{\frac {q}{2}}=0}$

${\displaystyle x^{2}-sx+q=0}$

${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ sono pertanto le soluzioni di questa equazione, come volevasi dimostrare.

Il centro del cerchio di Carlyle si trova, per costruzione, nel punto medio ${\displaystyle M}$ del segmento ${\displaystyle AB}$. Usando solo riga e compasso, non è immediato determinare il punto ${\displaystyle B(s,p)}$: una soluzione che rende più efficiente la costruzione è di tracciare un segmento ${\displaystyle SY}$, il cui punto medio coincide con ${\displaystyle M}$. Per tracciare tale segmento basta riportare ${\displaystyle s}$ sull'asse delle ${\displaystyle x}$, mentre sull'asse delle ${\displaystyle y}$ va riportato il punto ${\displaystyle p+1}$.

Il cerchio di Carlyle è della massima utilità nella costruzione esatta dei poligoni regolari con l'uso di soli riga e compasso. Con un cerchio di Carlyle infatti si costruisce agevolmente un pentagono regolare mentre, con elaborazioni via via più complesse, si possono costruire anche l'ettadecagono, il 257-gono e il 65537-gono.

• Costruzioni con riga e compasso
• Poligoni regolari
• Eptadecagono
• 257-gono
• 65537-gono

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Cerchio di Carlyle

• (EN) Eric W. Weisstein, Cerchio di Carlyle, su MathWorld, Wolfram Research.
• Duane W. DeTemple, Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions.

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