Serie di funzioni

Serie di funzioni
	Tipo: appunti
	Materia: Analisi matematica
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Sia ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!}$ una successione di funzioni reali, definite in ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} \,\!}$. Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ la scrittura ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}}$, e la successione ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!,s_{n}=\sum _{k=1}^{n}f_{k}}$ si dice successione delle somme parziali.

La scrittura ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}}$ viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.

Se, ${\displaystyle \forall x\in I\,\!}$, la serie numerica ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{k}(x)\,\!}$ converge, ossia se la successione ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!}$ converge puntualmente in ${\displaystyle I\,\!}$, allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in ${\displaystyle I\,\!}$.

Se la successione ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!}$ converge uniformemente in ${\displaystyle I\,\!}$, la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in ${\displaystyle I\,\!}$.

Inoltre, la serie di funzioni ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}}$ si dice assolutamente convergente in ${\displaystyle I\,\!}$ se e solo se la serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}|}$ converge puntualmente.

Infine, una serie di funzioni di termine generale ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ si dice totalmente convergente in ${\displaystyle I\,\!}$ se e solo se:
${\displaystyle \exists (M_{n})_{n\in \mathbb {N} },M_{n}\geq 0:|f_{n}(x)|\leq M_{n},\ \forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} ,\ \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}<+\infty }$

È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in ${\displaystyle I\,\!}$, essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme ${\displaystyle I'\subseteq I}$.

Si vede che, ${\displaystyle \forall x\in I,\forall n,p\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle s_{n+p}(x)-s_{n}(x)=f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)\,\!}$.
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:

• Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.

Grazie alla disuguaglianza triangolare: ${\displaystyle |f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|\leq |f_{n+1}(x)|+\dots +|f_{n+p}(x)|,\ \forall x\in I,\forall n,p\in \mathbb {N} }$, dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale ${\displaystyle |f_{n}|\,\!}$, si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale ${\displaystyle f_{n}\,\!}$, quindi la tesi.

• Sia ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,\!}$ una serie di funzioni che converge totalmente in ${\displaystyle I\,\!}$. Sia ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} },M_{n}\geq 0:|f_{n}(x)|\leq M_{n},\ \forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} ,\ \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}<+\infty }$.

Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche: ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} :M_{n+1}+\dots +M_{n+p}<\varepsilon ,\ \forall n>m,\forall p\in \mathbb {N} }$.
Da ciò segue che, ${\displaystyle \forall x\in I,\forall n>m,\forall p\in \mathbb {N} }$: ${\displaystyle |f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|\leq |f_{n+1}(x)|+\dots +|f_{n+p}(x)|\leq M_{n+1}+\dots +M_{n+p}<\varepsilon }$.

Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}|\,\!}$, sia per ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,\!}$, ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ converge sia assolutamente, sia uniformemente in ${\displaystyle I\,\!}$, ossia la tesi.

Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale ${\displaystyle \sup _{x\in I}|f_{n}(x)|}$ converge. Infatti vale il seguente risultato:

Se la serie di funzioni converge totalmente, allora: ${\displaystyle \exists (M_{n})_{n\in \mathbb {N} },M_{n}\geq 0:|f_{n}(x)|\leq M_{n},\ \forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} ,\ \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}<+\infty }$.

Quindi, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \,\!}$, ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ ha un maggiorante che converge. Tuttavia, ${\displaystyle \sup _{x\in I}|f_{n}(x)|\leq M_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$, poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.

Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare ${\displaystyle I=[a,b],a<b\,\!}$):

E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.

E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.

Sia ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ una successione reale. La serie di funzioni ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,\!}$ prende il nome di serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$.

Vi è da notare che, ponendo ${\displaystyle x=0\,\!}$, la serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ si riduce allo ${\displaystyle 0\,\!}$, e quindi ${\displaystyle 0\,\!}$ sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con ${\displaystyle X\,\!}$.

Dato che la serie numerica di termine generale ${\displaystyle a_{n}\xi ^{n}\,\!}$ converge, allora la successione ${\displaystyle (a_{n}\xi ^{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!}$ converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:
${\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} :\forall n\in \mathbb {N} ,|a_{n}\xi ^{n}|\leq M}$.
Sia ${\displaystyle \eta \in ]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!}$, quindi ${\displaystyle |\eta |<|\xi |\,\!}$. Allora, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :|x|\leq |\eta |}$, ${\displaystyle |a_{n}x^{n}|=|a_{n}\xi ^{n}|{\frac {|x^{n}|}{|\xi ^{n}|}}\leq M\left({\frac {|x|}{|\xi |}}\right)^{n}\leq M\left({\frac {|\eta |}{|\xi |}}\right)^{n},\forall n\in \mathbb {N} }$.
La serie numerica di termine generale ${\displaystyle M_{n}=M(|\eta |/|\xi |)^{n}\,\!}$ è una serie geometrica di ragione strettamente minore di ${\displaystyle 1\,\!}$, che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni ${\displaystyle [-\!|\eta |,|\eta |]\subset ]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!}$, e quindi, scelti ${\displaystyle a,b\in [-\!|\eta |,|\eta |]:a<b}$, la serie converge totalmente in ogni ${\displaystyle [a,b]\subseteq [-\!|\eta |,|\eta |]\subset ]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!}$, da cui la tesi.

Di conseguenza, ${\displaystyle X\,\!}$ è un intervallo di ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ contenente ${\displaystyle 0\,\!}$. Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:

Supponiamo, per assurdo, che ${\displaystyle \rho <0\,\!}$. Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di ${\displaystyle ]\rho ,0]\,\!}$, il che contrasta con il fatto che ${\displaystyle \rho =\sup X\,\!}$.

I primi due * sono banalmente dimostrabili.

${\displaystyle \Rightarrow )\,\!}$ Sia ${\displaystyle x\,\!}$ tale che ${\displaystyle |x|<\rho \,\!}$. Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un ${\displaystyle \xi \in X}$ tale che ${\displaystyle |x|<\xi \leq \rho \,\!}$. E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in ${\displaystyle x\,\!}$.
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto ${\displaystyle \xi \,\!}$ tale che ${\displaystyle |\xi |>\rho \,\!}$, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni ${\displaystyle x\in [\rho ,|\xi |[}$, che contraddice il fatto che ${\displaystyle \rho =\sup X\,\!}$, da cui l'assurdo.

${\displaystyle \Leftarrow )\,\!}$ Sia ${\displaystyle 0<\rho _{1}<+\infty \,\!}$ tale che la serie converge in ogni ${\displaystyle |x|<\rho _{1}\,\!}$, e la serie non converge in ogni ${\displaystyle |x|>\rho _{1}\,\!}$. Se la serie converge in ogni ${\displaystyle |x|<\rho _{1}\,\!}$, allora ${\displaystyle ]-\rho _{1},\rho _{1}[\subseteq X\,\!}$, e quindi ${\displaystyle \rho _{1}\leq \rho =\sup X\,\!}$.

Se, per assurdo, ${\displaystyle \rho _{1}<\rho \,\!}$, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni ${\displaystyle x\in [\rho _{1},\rho [\,\!}$, il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni ${\displaystyle |x|>\rho _{1}\,\!}$, da cui l'assurdo.

Si conclude che, in base al teorema precedente, se ${\displaystyle \rho =\sup X\,\!}$, l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro ${\displaystyle 0\,\!}$ e di raggio ${\displaystyle \rho \,\!}$, che si riduce al solo ${\displaystyle {0}\,\!}$ se ${\displaystyle \rho =0\,\!}$,e che si estende a tutto ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$, se ${\displaystyle \rho =+\infty \,\!}$. Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro ${\displaystyle 0\,\!}$ e raggio ${\displaystyle \rho \,\!}$. Allora diciamo che ${\displaystyle \rho \,\!}$ è il raggio di convergenza della serie di potenze. Il teorema non dice nulla se la serie converge in ${\displaystyle |x|=\rho \,\!}$. In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.

• La serie ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$ è, come è noto, la serie geometrica di ragione ${\displaystyle x\,\!}$, che converge se ${\displaystyle |x|<1\,\!}$, e diverge se ${\displaystyle |x|>1\,\!}$. Quindi il raggio di convergenza della serie è ${\displaystyle 1\,\!}$. Tuttavia, per ${\displaystyle x=1\,\!}$, la serie diverge positivamente, mentre per ${\displaystyle x=-1\,\!}$, la serie non è regolare, e quindi ${\displaystyle X=]-1,1[\,\!}$.
• La serie ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k^{2}}}}$ ha raggio di convergenza ${\displaystyle 1\,\!}$, e la serie converge sia per ${\displaystyle x=1\,\!}$ (la serie armonica con ${\displaystyle p>1\,\!}$), sia per ${\displaystyle x=-1\,\!}$ (criterio di Leibniz), quindi ${\displaystyle X=[-1,1]\,\!}$.
• La serie ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k}}}$ ha raggio di convergenza ${\displaystyle 1\,\!}$, e la serie converge per ${\displaystyle x=-1\,\!}$ (criterio di Leibniz), ma non per ${\displaystyle x=1\,\!}$ (serie armonica con ${\displaystyle p\leq 1\,\!}$), quindi ${\displaystyle X=[-1,1[\,\!}$.

I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.

Per ogni ${\displaystyle x\neq 0,\lim _{n}{\sqrt[{n}]{|a_{n}x^{n}|}}=l|x|}$.
Se ${\displaystyle l=0\,\!}$, allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, e quindi ${\displaystyle \rho =+\infty \,\!}$. Se ${\displaystyle l=+\infty \,\!}$, allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in ${\displaystyle 0\,\!}$, e quindi ${\displaystyle \rho =0\,\!}$.

Se ${\displaystyle 0<l<+\infty \,\!}$, allora, per il criterio della radice, la serie converge se ${\displaystyle |x|<{\frac {1}{l}}}$, e la serie non converge se ${\displaystyle |x|>{\frac {1}{l}}}$, ossia, per il teorema precedente, ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{l}}}$.

Per ogni ${\displaystyle x\neq 0,\lim _{n}\left|{\frac {a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}}}\right|=l|x|}$.
Se ${\displaystyle l=0\,\!}$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, e quindi ${\displaystyle \rho =+\infty \,\!}$. Se ${\displaystyle l=+\infty \,\!}$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in ${\displaystyle 0\,\!}$, e quindi ${\displaystyle \rho =0\,\!}$.

Se ${\displaystyle 0<l<+\infty \,\!}$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se ${\displaystyle |x|<{\frac {1}{l}}\,\!}$, e la serie non converge se ${\displaystyle |x|>{\frac {1}{l}}\,\!}$, ossia, per il teorema precedente, ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{l}}}$.

Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ la serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle ((n+1)a_{n+1})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$, ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.

${\displaystyle \rho \leq \rho ')\,\!}$ Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ converga in ${\displaystyle x_{0}\,\!}$. Da ciò segue che la successione ${\displaystyle (a_{n}x_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!}$ converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia ${\displaystyle \exists L>0:|a_{n}x_{0}^{n}|\leq L\forall n\in \mathbb {N} _{0}}$. Allora, ${\displaystyle \forall |x|<|x_{0}|,\forall n\in \mathbb {N} _{0}}$:
${\displaystyle |(n+1)a_{n+1}x^{n}|=(n+1){\frac {|a_{n+1}x_{0}^{n}|}{|x_{0}^{n}|}}|x^{n}|=(n+1){\frac {|a_{n+1}x_{0}^{n+1}|}{|x_{0}|}}\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}\leq {\frac {L}{|x_{0}|}}\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}}$.
La serie di termine generale ${\displaystyle |x/x_{0}|^{n}\,\!}$ è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle ((n+1)a_{n+1})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$, ossia la serie derivata, converge in ogni punto ${\displaystyle |x|<|x_{0}|\,\!}$, da cui segue che ${\displaystyle \rho \leq \rho '\,\!}$.

${\displaystyle \rho \geq \rho ')\,\!}$ Supponiamo che la serie derivata converge in ${\displaystyle x_{0}\,\!}$. Allora, come prima: ${\displaystyle \exists M>0:|(n+1)a_{n+1}x_{0}^{n}|\leq M\forall n\in \mathbb {N} _{0}}$, quindi, ${\displaystyle \forall |x|<|x_{0}|,\forall n\in \mathbb {N} }$:
${\displaystyle |a_{n}x^{n}|={\frac {1}{n}}{\frac {|na_{n}x_{0}^{n}|}{|x_{0}^{n}|}}|x^{n}|={\frac {1}{n}}|na_{n}x_{0}^{n-1}||x_{0}|\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}\leq {\frac {M|x_{0}|}{n}}\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}\leq M|x_{0}|\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}}$.

La serie di termine generale ${\displaystyle |x/x_{0}|^{n}\,\!}$ converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ converge in ogni punto ${\displaystyle |x|<|x_{0}|\,\!}$, da cui segue che ${\displaystyle \rho \geq \rho '\,\!}$.

Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ la serie di potenze di coefficienti ${\displaystyle (0,a_{n}/(n+1))_{n\in \mathbb {N} }\,\!}$, ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.

Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in ${\displaystyle ]\!-\!\rho ,\rho [\,\!}$, con ${\displaystyle \rho \,\!}$ il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.

Si dice serie di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ e di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ la serie: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}}$.
Ponendo ${\displaystyle y=x-x_{0}\,\!}$, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se ${\displaystyle \rho \,\!}$ è il raggio di convergenza della serie di potenze ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$, allora la serie di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ e di coefficienti ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ converge assolutamente: solo in ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ se ${\displaystyle \rho =0\,\!}$; in ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ se ${\displaystyle \rho =+\infty \,\!}$; in ogni punto ${\displaystyle x\,\!}$ tale che ${\displaystyle |x-x_{0}|<\rho \,\!}$ e non converge in ogni punto ${\displaystyle x\,\!}$ tale che ${\displaystyle |x-x_{0}|>\rho \,\!}$.

Sia ${\displaystyle f:]a,b[\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a<b}$. Sia ${\displaystyle x_{0}\in ]a,b[\,\!}$.
${\displaystyle f\,\!}$ si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ se esiste una successione numerica ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!}$ tale che ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k},\ \forall x\in ]a,b[}$

Applicando ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: ${\displaystyle f^{(m)}(x)=m!a_{m}+(m+1)!a_{m+1}(x-x_{0})+{\frac {(m+2)!}{2!}}a_{m+2}(x-x_{0})^{2}+\dots +k(k-1)\dots (k-m+1)a_{k}(x-x_{0})^{k-m}+\dots ,\ \forall m\in \mathbb {N} _{0},\forall |x-x_{0}|<\rho }$.

Posto ${\displaystyle x=x_{0}\,\!}$, ${\displaystyle f^{(m)}(x_{0})=m!a_{m}+0+...+0+...=m!a_{m},\ \forall m\in \mathbb {N} _{0}}$, da cui ${\displaystyle a_{m}={\frac {f^{(m)}(x_{0})}{m!}}}$, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.

${\displaystyle f:]a,b[\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a<b}$ indefinitamente derivabile in ${\displaystyle ]a,b[\,\!}$. ${\displaystyle f\,\!}$ si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ in ${\displaystyle ]a,b[\,\!}$ se: ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k},\ \forall x\in ]a,b[}$

La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione ${\displaystyle f\,\!}$ di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$.
La serie di Taylor della funzione ${\displaystyle f\,\!}$ di punto iniziale ${\displaystyle 0\,\!}$ si dice serie di Mac Laurin di ${\displaystyle f\,\!}$.

Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.

Fissato ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \,\!}$. Consideriamo il resto ${\displaystyle n\,\!}$-esimo di Lagrange della formula di Taylor di ${\displaystyle f\,\!}$ di punto iniziale un qualunque punto ${\displaystyle x_{0}\in ]a,b[\,\!}$:
${\displaystyle \exists x_{1}\in ]a,b[:R_{n}(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}={\frac {f^{(n+1)}(x_{1})}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}}$.
Per ipotesi si ha che: ${\displaystyle \left|{\frac {f^{(n+1)}(x_{1})}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}\right|={\frac {|f^{(n+1)}(x_{1})|}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1}\leq {\frac {ML^{n+1}}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1},\ \forall n\in \mathbb {N} ,\forall x,x_{0}\in ]a,b[}$.

La serie di termine generale ${\displaystyle {\frac {ML^{n}}{n!}}|x-x_{0}|^{n}}$ converge per il criterio del rapporto: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\left({\frac {ML^{n+1}}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1}\right)\left({\frac {n!}{ML^{n}}}{\frac {1}{|x-x_{0}|^{n}}}\right)=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {L|x-x_{0}|}{n+1}}=0}$.

Da cui segue che: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {ML^{n}}{n!}}|x-x_{0}|^{n}=0}$, quindi la tesi.

Sia ${\displaystyle f(x)=e^{x}\,\!}$. Si sa che ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$, e le derivate di ${\displaystyle f(x)\,\!}$ sono: ${\displaystyle f^{n}(x)=e^{x}\,\!}$ , per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ e per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
Sia poi ${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$ un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, allora ${\displaystyle f^{n}(x)=e^{x}\leq e^{R},\ \forall x\leq R}$.
Quindi posto ${\displaystyle M=e^{R}\,\!}$ e ${\displaystyle L=1\,\!}$, risulta che ${\displaystyle f^{n}(x)\leq ML^{n},\ \forall x\leq R}$.
Per il teorema 1 risulta che ${\displaystyle f\,\!}$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ in ${\displaystyle ]-\infty ,R[\,\!}$, qualunque sia ${\displaystyle x_{0}\in ]-\infty ,R[\,\!}$.
Dato che ${\displaystyle R\,\!}$ è stato scelto in maniera arbitraria in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, allora si può concludere che ${\displaystyle f\,\!}$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ in ${\displaystyle \bigcup _{R\in \mathbb {R} }]-\infty ,R[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb {R} \,\!}$.

Siano ${\displaystyle c,d\in ]a,b[\,\!}$ tale che ${\displaystyle x_{0}\in [c,d]\,\!}$. Allora la serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{(k-1)!}}(x-x_{0})^{k-1}}$ converge totalmente in ${\displaystyle [c,d]\,\!}$, quindi uniformemente in ${\displaystyle [c,d]\,\!}$ alla funzione ${\displaystyle f'\,\!}$. Chiaramente la serie di Taylor di ${\displaystyle f\,\!}$ di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ converge per ${\displaystyle x=x_{0}\,\!}$.

Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di ${\displaystyle f\,\!}$ di punto iniziale ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ converge uniformemente in ${\displaystyle [c,d]\,\!}$ in una funzione ${\displaystyle g\,\!}$ tale che ${\displaystyle g(x_{0})=f(x_{0})\,\!}$, e ${\displaystyle g'(x)=f'(x),\forall x\in [c,d]}$. Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale, ${\displaystyle f(x)=g(x),\forall x\in [c,d]}$, da cui, per l'arbitrarietà di ${\displaystyle c\,\!}$ e ${\displaystyle d\,\!}$, segue la tesi.