Teorema di Cauchy-Kovalevskaya

In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare e a Sof'ja Kovalevskaja (1875) in generale.

Si consideri un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti:

${\displaystyle {\partial u_{i} \over \partial t}=F_{i}\left(u_{1},\ldots ,u_{m};t,x_{1},...x_{n};{\partial u_{1} \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}\right)}$

in cui ${\displaystyle F_{1}\dots ,F_{m}}$ sono analitiche in un intorno del punto ${\displaystyle (u_{1}^{0},\ldots ,u_{m}^{0};t^{0},x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})}$ con condizioni iniziali:

${\displaystyle u_{i}=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

per il tempo iniziale ${\displaystyle t=t_{0}}$, e le ${\displaystyle f_{1}\dots ,f_{m}}$ sono analitiche in un intorno del punto ${\displaystyle (x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})}$ tale che ${\displaystyle u_{i}^{0}=f_{i}(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})}$.

Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.

Si tratta di un risultato di esistenza locale: non assicura cioè che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante. Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente il teorema: con un cambio di variabile ${\displaystyle t'=t-\phi (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano ${\displaystyle t=t_{0}}$.

Una dimostrazione si ricava espandendo in serie formale di potenze entrambi i membri della EDP.

Se ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle f_{j}}$ sono analitiche in un intorno dello zero, allora il problema di Cauchy non-lineare:

${\displaystyle \partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right)\qquad j<k\quad |\alpha |+j\leq k}$

con condizione iniziale:

${\displaystyle \partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x)\qquad 0\leq j<k}$

possiede una soluzione unica in un intorno dello zero. Ciò segue dal caso di ordine 1 considerando il fatto che la derivata di ${\displaystyle h}$ nel membro a destra può essere vista come la componente di una funzione vettoriale.

Per esempio, l'equazione del calore:

${\displaystyle \partial _{t}h=\partial _{x}^{2}h}$

con la condizione:

${\displaystyle h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}}$

per ${\displaystyle t=0}$, posside un'unica soluzione espandibile in serie formale di potenze attorno al punto ${\displaystyle (0,0)}$, che tuttavia non converge per tutti i valori di ${\displaystyle t}$ diversi da 0, e quindi non si hanno soluzioni analitiche in un intorno dell'origine.

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara fornisce una generalizzazione per sistemi lineari di equazioni alle derivate parziali che si deve a Kashiwara (1983). Tale risultato include una formulazione coomologica presentata attraverso il linguaggio dei D-moduli.

Ad esempio, dato ${\displaystyle n\leq m}$, sia ${\displaystyle Y=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}}$. Il sistema ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,...,n,}$ possiede una soluzione ${\displaystyle f\in \mathbb {C} \{x_{1},...,x_{m}\}}$ se e solo se le condizioni ${\displaystyle \partial _{x_{i}}g_{j}=\partial _{x_{j}}g_{i}}$ sono soddisfatte. Per avere una soluzione unica si deve incorporare una condizione iniziale ${\displaystyle f|_{Y}=h}$, dove ${\displaystyle h\in \mathbb {C} \{x_{n+1},...,x_{m}\}}$.

• (EN) L. Bers, F. John, M. Schechter, Partial differential equations, Interscience (1964)
• (EN) A.V. Bitsadze, Equations of mathematical physics, MIR (1980) (Translated from Russian)
• (EN) V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, MIR (1984) (Translated from Russian)
• (EN) R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Partial differential equations, 2, Interscience (1965) (Translated from German)
• (EN) L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer (1963)

• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Funzione analitica
• Problema di Cauchy
• Teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara

• (EN) AA. VV., Cauchy-Kovalevskaya theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Pagina Archiviato l'11 marzo 2008 in Internet Archive. su PlanetMath
• (EN) Tsogtgerel Gantumur - Lecture Notes 2: The Cauchy-Kovalevskaya theorem (PDF), su math.mcgill.ca.

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