T di Student multivariata

In statistica, la distribuzione t di Student multivariata è una distribuzione di probabilità multivariata. È una generalizzazione a vettori casuali della distribuzione t di Student, che è una distribuzione applicabile alle variabili casuali univariate. Mentre il caso di una matrice aleatoria potrebbe essere trattato all'interno di questa struttura, la distribuzione t di Student per matrici è distinta e fa particolare uso della struttura della matrice.

Un metodo comune di costruzione di una distribuzione t di Student multivariata, per il caso di ${\displaystyle p}$ dimensioni, si basa sull'osservazione che se ${\displaystyle \mathbf {y} }$ e ${\displaystyle u}$ sono indipendenti e distribuiti come ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})}$ e ${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$ (cioè distribuzioni multivariate normali e chi-quadrate ) rispettivamente, la matrice ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } \,}$ è una matrice p × p e ${\displaystyle {\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}={\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}}$, poi ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ ha densità

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$

e si dice che sia distribuita come una t di Student multivariata con parametri ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu }$ . Si noti che ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ non è la matrice di covarianza poiché la covarianza è data da ${\displaystyle \nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma } }$ (per ${\displaystyle \nu >2}$).

Nel caso speciale ${\displaystyle \nu =1}$, la distribuzione è una distribuzione di Cauchy multivariata.