Somma vuota

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In matematica si usa l'espressione somma vuota (o somma nullaria) quando in una addizione non ci sono addendi. Una tale situazione capita ad esempio quando l'indice inferiore di una sommatoria è più grande dell'indice superiore, come in

${\displaystyle \sum _{i=2}^{1}f(i)}$.

In questo caso infatti non c'è alcun indice ${\displaystyle i}$ che soddisfi la condizione richiesta (essere contemporaneamente minore o uguale di 1 e maggiore o uguale di 2), dunque non ci sono addendi da poter sommare.

Si potrebbe cadere nell'errore di credere che una somma vuota non sia definibile, o che ricada in qualche errore concettuale. Invece il risultato di una somma vuota è semplicemente zero. Lo si può comprendere pensando che lo zero è l'elemento neutro dell'addizione e quindi il risultato che si ottiene quando "non si modifica nulla". Altrimenti, lo si può visualizzare semplicemente facendo un conto veloce: prendiamo ad esempio la somma ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}$ e sottraiamo uno dopo l'altro tutti gli addendi; togliendo ${\displaystyle a_{4}}$ rimane la somma dei primi tre addendi,

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}-a_{4}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}}$

e così via:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}-a_{3}=\sum _{i=1}^{2}a_{i}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}-a_{2}=\sum _{i=1}^{1}a_{i}}$

${\displaystyle a_{1}-a_{1}=0}$

per definizione di elemento opposto. Dunque togliendo tutti gli addendi, cioè rimanendo con la somma vuota, il risultato ottenuto è proprio zero.

• Sommatoria
• Addizione
• Elemento neutro
• Prodotto vuoto

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