Numero stella octangulare

In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.

La formula per l'${\displaystyle n}$-simo numero stella octangulare è:

${\displaystyle n(2n^{2}-1).}$^[1]

I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444^[2].

L'${\displaystyle n}$-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'${\displaystyle n}$-esimo numero ottaedrico e di 8 volte l'${\displaystyle (n-1)}$-esimo numero tetraedrico.

Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1º e il 169º dei numeri di questa forma^[3]. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,

${\displaystyle m^{2}=n(2n^{2}-1),}$

può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass

${\displaystyle x^{2}=y^{3}-2y}$

sostituendo ${\displaystyle 2m}$ con ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle 2n}$ con ${\displaystyle y}$. Dato che ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle 2n^{2}-1}$, i due fattori di ${\displaystyle m^{2}}$, sono primi tra loro, devono essere anch'essi quadrati.

Ora, ponendo ${\displaystyle X={\frac {m}{\sqrt {n}}}}$ e ${\displaystyle Y={\sqrt {n}}}$, si ha

${\displaystyle X^{2}=2Y^{4}-1.}$^[3]

Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren^[4] Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici.^[3][5][6].

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero stella octangulare, su MathWorld, Wolfram Research.

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